June 2009 - ntg-context - NTG Mailing Lists

\goto and email
by Vyatcheslav Yatskovsky 11 Jun '09

11 Jun '09

Hello, I have success with \goto instead of \useURL. Actually, I like \goto even more, because it is more simple. \goto{http://url.com/index.html}[url(http://url.com/index.html)] My question is: how to mark a email in this way? (So that clicking on it opened mail client) Best, Vyactheslav

2 1

Tables query (notes, MKII)
by Bowen Alan C. 11 Jun '09

11 Jun '09

I need a table that has local notes, but have not been able to get them into the proper position (at the left margin of the table) or the the proper length ( extending full length of table if needed). What am I missing in the following reduced example? \starttext \startlocalfootnotes[conversion=character] \placetable[][] {} \placelegend {\starttables[|p|p|p|p|p|p|] \NC numbers \NC (*) \footnote{This is the first footnote.} \NC stuff \footnote{This is the second footnote.} \NC stuff\footnote{This is the third footnote.} \NC more stuff\footnote{This is the fourth footnote} \NC and yet more \NC\SR \HL \stoptables} {\placelocalfootnotes} \stoplocalfootnotes \stoptext Alan

3 3

inserting Chinese characters (MKII)
by Bowen Alan C. 11 Jun '09

11 Jun '09

I have absolutely no knowledge of Chinese, but I am publishing a review which inserts two Chinese characters into a document as follows, third century alchemist Ge Hong 葛洪 as another So which of the two Chinese modules on http:// modules.contextgarden.net/ should I install or do I need them both? (I am assuming that installing one of both of these modules will take care of steps 1–4 of the post-ConTeXt 2005.12.19 instructions on http://wiki.contextrarden.net/Chinese .) By the way, the LaTeX file that I am working from has \begin{TChinese}ËëõÊ¥™\end{TChinese} where \newenvironment{TChinese}{% \CJKfamily{bsmi}% %\CJKfamily{bkai}% \CJKtilde \CJKnospace}{} Alan

2 2

startcombination alignment problem
by Xan 11 Jun '09

11 Jun '09

Hi, I want to put three graphics by this way: [graphic 1] [graphic 2] [graphic 3] where graphic 3 is centered. I use combination, but graphic 3 puts me in left [graphic 1] [graphic 2] [graphic 3] How can I solve that? Thanks in advance, Xan. PS: Please, CCme. I put the code: \placefigure [here] [figura-area] {Camins sobre $w$} {\startcombination[2*1] { \starttikzpicture[scale=1] % Els punts \filldraw (0,-4) circle (2pt); \filldraw (0.4216,3.9603) circle (2pt); % primer punt: avaluo ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)}); a t = 0.141 \filldraw (-0.4216,3.9603) circle (2pt); % primer punt: avaluo ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)}); a t = -0.141 % Les línies entre els punts \draw (-0.4216,3.9603) -- (0.4216,3.9603); \draw plot[domain=-3.141:-0.141,smooth,variable=\t] ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)}); \draw plot[domain=0.141:3.141,smooth,variable=\t] ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)}); \filldraw (0,-4) circle (2pt); % perquè me quedi el punt damunt. % Els combings % Dibuixo: % amb y la línia recta que uneix els dos punts, directament % per x faig un funció del sinus (sin nx + ax = k) \draw plot[domain=0:0.4216,smooth,variable=\t] ({-0.857727*\t -sin (7.31228*\t r) },{18.8812*\t -4 }); \draw plot[domain=0:0.4216,smooth,variable=\t] ({+0.857727*\t +sin (7.31228*\t r) },{18.8812*\t -4 }); % el sentit d'omega \draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .9 with {\arrow[blue,line width=1mm]{<}}}] plot[domain=-3.141:3.141,smooth,variable=\t] ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)}); % Els punts de les cel·les % Calcul els combings per a y= 0 i y=1 \filldraw (-1.181475, 0) circle (2pt); \filldraw (1.181475, 0) circle (2pt); %\filldraw (1.161048, 1) circle (2pt); %\filldraw (-1.161048, 1) circle (2pt); % Els noms \draw (0, -4.3) node {$1 \in G$}; \draw (2.5, -3) node {$w$}; \draw (-1.8, -0.3) node {$\sigma_{i+1}(j)$}; \draw (1.65, -0.3) node {$\sigma_i(j)$}; % Els noms dels camins %\draw (1, 0.3) node {$a$}; %\draw (3, 0.3) node {$b$}; %\draw (3.7, 1) node {$c$}; %\draw (3, 1.7) node {$d$}; %\draw (1, 1.7) node {$e$}; %\draw (0.3, 1) node {$f$}; %\draw (2.3, 1) node {$g$}; % PROVES %\draw[out=45,in=-45] (0,0) to (0.5,8); %\draw[color=blue,->] (0,0) .. controls (0.1,2) .. (0.2,3) .. controls (0.3,4) and (0.4,6) .. (0.5,8); %\draw (0,0) arc (-90:90:3 and 4); %\draw (0,0) arc (270:90:3 and 4); %\draw[color=green] plot[domain=-3.141:3.141,smooth,variable=\t] ({4*sin(\t + (.1 * rand) r)},{4*cos(\t r)}); %\draw (0,0) arc (-90:81.82:2 and 4); %\draw[decorate,decoration={random steps,segment length=2mm, amplitude=2pt}] (0,0) arc (-90:97.18:3.5 and 4); % \draw[very thin,color=gray] (-5.1,-5.1) grid [step=1] (5.9,5.9); % \draw[->] (-5.2,0) -- (6.2,0) node[right] {$x$}; % \draw[->] (0,-5.2) -- (0,5.2) node[above] {$y$}; % r = \frac{-1}{3} x + 3 %\filldraw (3,2) circle (2pt); %\filldraw (-3,4) circle (2pt); %\draw (-6,5) -- (6,1); %\draw (1, 3.5) node {$r$}; \stoptikzpicture} {Les seccions de $\pi(w(i))$.} { \starttikzpicture[scale=1] % Els punts \filldraw (0,-4) circle (2pt); \filldraw (0.4216,3.9603) circle (2pt); % primer punt: avaluo ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)}); a t = 0.141 \filldraw (-0.4216,3.9603) circle (2pt); % primer punt: avaluo ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)}); a t = -0.141 % Les línies entre els punts \draw (-0.4216,3.9603) -- (0.4216,3.9603); \draw plot[domain=-3.141:-0.141,smooth,variable=\t] ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)}); \draw plot[domain=0.141:3.141,smooth,variable=\t] ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)}); \filldraw (0,-4) circle (2pt); % perquè me quedi el punt damunt. % Els combings % Dibuixo: % amb y la línia recta que uneix els dos punts, directament % per x faig un funció del sinus (sin nx + ax = k) \draw plot[domain=0:0.4216,smooth,variable=\t] ({-0.857727*\t -sin (7.31228*\t r) },{18.8812*\t -4 }); \draw plot[domain=0:0.4216,smooth,variable=\t] ({+0.857727*\t +sin (7.31228*\t r) },{18.8812*\t -4 }); % el sentit d'omega \draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .9 with {\arrow[blue,line width=1mm]{<}}}] plot[domain=-3.141:3.141,smooth,variable=\t] ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)}); % Els punts de les cel·les % Calcul els combings per a y= 0 i y=1 \filldraw (-1.181475, 0) circle (2pt); \filldraw (1.181475, 0) circle (2pt); %\filldraw (1.161048, 1) circle (2pt); %\filldraw (-1.161048, 1) circle (2pt); % Els noms \draw (0, -4.3) node {$1 \in G$}; \draw (2.5, -3) node {$w$}; \draw (-1.8, -0.3) node {$\sigma_{i+1}(j)$}; \draw (1.65, -0.3) node {$\sigma_i(j)$}; % Els noms dels camins %\draw (1, 0.3) node {$a$}; %\draw (3, 0.3) node {$b$}; %\draw (3.7, 1) node {$c$}; %\draw (3, 1.7) node {$d$}; %\draw (1, 1.7) node {$e$}; %\draw (0.3, 1) node {$f$}; %\draw (2.3, 1) node {$g$}; \stoptikzpicture} {El camí $\theta_{i,j}$.} \stopcombination \startcombination[1*1] { \starttikzpicture[scale=1] % Els punts \filldraw (0,-4) circle (2pt); \filldraw (0.4216,3.9603) circle (2pt); % primer punt: avaluo ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)}); a t = 0.141 \filldraw (-0.4216,3.9603) circle (2pt); % primer punt: avaluo ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)}); a t = -0.141 % Les línies entre els punts \draw (-0.4216,3.9603) -- (0.4216,3.9603); \draw plot[domain=-3.141:-0.141,smooth,variable=\t] ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)}); \draw plot[domain=0.141:3.141,smooth,variable=\t] ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)}); \filldraw (0,-4) circle (2pt); % perquè me quedi el punt damunt. % Els combings % Dibuixo: % amb y la línia recta que uneix els dos punts, directament % per x faig un funció del sinus (sin nx + ax = k) \draw plot[domain=0:0.4216,smooth,variable=\t] ({-0.857727*\t -sin (7.31228*\t r) },{18.8812*\t -4 }); \draw plot[domain=0:0.4216,smooth,variable=\t] ({+0.857727*\t +sin (7.31228*\t r) },{18.8812*\t -4 }); % el sentit d'omega \draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .9 with {\arrow[blue,line width=1mm]{<}}}] plot[domain=-3.141:3.141,smooth,variable=\t] ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)}); % el sentit de \tau_i \draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .4 with {\arrow[green,line width=1mm]{<}}}] plot[domain=0:0.4216,smooth,variable=\t] ({-0.857727*\t -sin (7.31228*\t r) },{18.8812*\t -4 }); \draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .6 with {\arrow[green,line width=1mm]{>}}}] plot[domain=0:0.4216,smooth,variable=\t] ({+0.857727*\t +sin (7.31228*\t r) },{18.8812*\t -4 }); % Els punts de les cel·les % Calcul els combings per a y= 0 i y=1 %\filldraw (-1.181475, 0) circle (2pt); %\filldraw (1.181475, 0) circle (2pt); %\filldraw (1.161048, 1) circle (2pt); %\filldraw (-1.161048, 1) circle (2pt); %\filldraw [top color=yellow] plot[domain=0:0.4216,smooth,variable=\t] ({+0.857727*\t +sin (7.31228*\t r) },{18.8812*\t -4 }); % Els noms \draw (0, -4.3) node {$1 \in G$}; \draw (2.5, -3) node {$w$}; \draw (1.5,0) node {$\tau_i$}; \draw (-0.8,4.5) node {$\sigma_{i+1}(\frac{\lvert w \rvert}{2})$}; \draw (0.8,4.5) node {$\sigma_i(\frac{\lvert w \rvert}{2})$}; %\draw (-1.8, -0.3) node {$\sigma_{i+1}(j)$}; %\draw (1.65, -0.3) node {$\sigma_i(j)$}; % Els noms dels camins %\draw (1, 0.3) node {$a$}; %\draw (3, 0.3) node {$b$}; %\draw (3.7, 1) node {$c$}; %\draw (3, 1.7) node {$d$}; %\draw (1, 1.7) node {$e$}; %\draw (0.3, 1) node {$f$}; %\draw (2.3, 1) node {$g$}; \stoptikzpicture} {El camí $\tau_i$} \stopcombination }

2 3

diaresis in url with \goto
by Peter Münster 11 Jun '09

11 Jun '09

Hello, How can I get a diaresis in a url with \goto? This is, what I've tried: \setupinteraction[state=start] \def\gotoURL#1{\tt\goto{#1}[url(#1)]} \starttext \gotoURL{http://test.com/test#test} \gotoURL{http://test.com/test\#test} \gotoURL{http://test.com/test\string#test} \gotoURL{http://test.com/test\textdiaresis test} \stoptext Cheers, Peter -- Contact information: http://pmrb.free.fr/contact/

2 2

URL colors are gone
by Vyatcheslav Yatskovsky 10 Jun '09

10 Jun '09

Hello, I use \useURL[abc] [http://abc.com] [] [http://abc.com] but in mkiv it is typeset without color. \setupinteraction[state=start,color=blue] does not help. Regards, Vyatcheslav

5 6

3SIDE imposition schema weirdness
by Nicolas Girard 10 Jun '09

10 Jun '09

Hi, i'm a little bit puzzled by the results of the following test file, using the 3SIDE imposition schema from Willi ( http://wiki.contextgarden.net/Imposition#Additional_schemas ). The results consists in pages 1|2|3 on the recto of the sheet, and pages 4|5|6 on the verso. * Is it really the intended result ? * If so, I don't understand how can \dosetuparrangement{3}{1}{6}{4}{2} give 1|2|3 // 4|5|6 . What's the rationale ? Why no page 5 among the arguments of \dosetuparrangement ? * What if one wants to fold the resulting brochure ? How to adapt the code (besides by try and error) for the resulting arrangement to be 3|6|1 // 2|4|5 ? Thanks in advance, cheers, Nicolas

3 5

Problems with bibtex and @incollection
by Xan 10 Jun '09

10 Jun '09

Hi, When I put one reference as @incollection Bibtex does not show me the title of the article in the book, but yes the booktitle. Why?. Anyone could help me please. I attached the files.... Xan. Please CC me % interface=en output=pdftex %\environment capcalera.context % Capçalera % Regime \enableregime[utf] % Choose a font \setupbodyfont [cmr,11pt] % Be tolerant with paragraph building \setuptolerance [horizontal,verytolerant,stretch] % Choose a language, and associated hyphenation rules. %\language [ca] \mainlanguage[ca] % Page number \setuppagenumbering [location={footer}] % White space between paragraphs %\setupwhitespace [big] % Paper size \setuppapersize [a4] % Margins %\setuplayout [grid=yes, footer=0.5\footerheight, header=0.5\headerheight] %\setuplayout[footer=2cm, header=2cm] %\showlayout %\showframe %\showsetups % Format de marges \setuplayout[topspace=1.5cm, % marge d'adalt margin=1.5cm, %marges dels costats header=1.0cm,%separació entre adalt i primera línia footer=1.0cm,%separació entre abaix i darrera línia width=fit,height=fit,backspace=2cm] % Enable colors and activate hyperlinks \setupcolors [state=start] \definecolor[lightblue][r=0.5, g=0.5, b=1.0] %\setupinteraction [state=start, color=lightBlue] %\setupurl[style=small, space=yes] \setupurl[space=yes] % Enumerate the URLs %\useURL[wiki][http://wiki.contextgarden.net][][\ConTeXt\ wiki] %\useURL[nagorko-pdf][http://www.math.bgu.ac.il/~barakw/probseminar/nagorko/slides.pdf][][http://www.math.bgu.ac.il/\~{}barakw/\quad\quad\quad\quad probseminar/nagorko/slides.pdf] %\useURL[govern-me][http://sgtrelinst.caib.es/llibrestil/00index.html][][http://sgtrelinst.caib.es/llibrestil/00index.html] %\useURL[context-manual-pdf][http://www.pragma-ade.com/general/manuals/cont-eni.pdf][][http://www.pragma-ade.com/general/manuals/ cont-eni.pdf] %\useURL [contextgarden] [{http://www.contextgarden.net}] %\useURL [mccammond][{http://www.math.ucsb.edu/~jon.mccammond/geogrouptheory/}][] [{\tf http://www.math.ucsb.edu/\~{}jon.mccammond/geogrouptheory/}] % Fonts %% Chapters... \setupheads[align=flushleft] \setuphead[chapter][style={\tfd\bf}] \setuphead[section][style={\bfc}, header=nomarking] \setuphead[subsection][style={\bfb}] \setuphead[subsubsection][style={\bfa}] %\setuphead[section][textstyle=bold] % Bibliography options % BIBTEX \usemodule[bib] \usemodule[bibltx] \setupbibtex[database=tfm,sort=author] \setuppublications [alternative=ams,numbering=yes, sorttype=bbl, criterium=cite]% \setupheadtext[ca][pubs=Referències] \setuppublicationlist[authoretallimit=3] \setuppublicationlist[authoretaltext={\it\ et al.}] \setuppublicationlist[authoretaldisplay=1] %Indentation \setupheads[indentnext=yes] \setupindenting[yes,small,first] %\setupformulae[indentnext=yes] % Vertical spaces between paragraphs \setupwhitespace[small] %Itemize \setupitemize[each][identnext=yes,margin=2em] \setupitemize[each][headstyle=bold] %\setupitemize[a][right=),stopper=] % Mathematical packets \usemodule[newmat] \usemodule[math-ams] % Heads and footers \setupfootertexts[\pagenumber/\lastpage] \setupfooter[text][before=\hrule] \setupheader[text][after=\hrule] \setupheadertexts[{\tfx Màster de Matemàtiques}][{\tfx \jobname.\ConTeXt{}.\currentdate}] % hyphenating \hyphenation{do-cu-ment} \hyphenation{pro-ble-ma} \hyphenation{es-crip-tu-ra} \hyphenation{ge-ne-ra-lit-za-ció} \hyphenation{cor-res-po-nents} % Modules \usemodule[tikz] \usemodule[pgfmath] \usetikzlibrary[mindmap,arrows,calc,decorations.pathmorphing,decorations.markings] %\usetikzlibrary[trees] % AMSTHM equivalent %% Exercici \defineenumeration [exercici] [text={Problema},headstyle=bold,between=\blank,titledistance=0em,textdistance=1em, stopper={.\space},location=serried,left={\bgroup\bf},right={\egroup},width=fit,before={\bgroup\startframedtext[background=screen,frame=off,width=broad]},after={\stopframedtext\egroup}] %% Lema \defineenumeration [lema] [text={Lema}, % Què es mostra before={\blank[big]}, % abans de lema, un bigskip after={\blank[big]}, % després de lema, un bigskip headstyle=bold, % Negreta per la capçaleras %between=\blank, % Entre Lemmes una línia en blanc titledistance=.5em, % espai entre número i parèntesis. textdistance=.5em, % espai entre ) i text stopper={.\space}, % Com acaba. Després de parèntesis un '.' location=serried, width=fit, % que ocupi tot l'espai style=italic, % estil del text title=yes, % si puc posar o no arguments opcionals titlestyle=bf, % estil del títol way=bytext, % enumerar en tot el document conversion=numbers,indenting=yes] % enumera amb arabic %% Proposició, corol·laris, teoremes. %% Comparteix els nombres amb lema %% Si volem que vagin a part, hem de posar 'number=proposition' \defineenumeration [proposition] [lema] [text={Proposició}] \defineenumeration [corollary] [lema] [text={Corol·lari}] \defineenumeration [theorem] [lema] [text={Teorema}] %% Definició \defineenumeration [definition] [lema] [text={Definició},style=tf,titlestyle=bf,indenting=yes] \defineenumeration [notation] [definition] [text={Notació},style=tf,titlestyle=bf,indenting=yes] \defineenumeration [note] [definition] [text={Nota},style=tf,titlestyle=bf,indenting=yes] %% Demostració \defineenumeration[demo][text={Demostració.\space},number=no,location=serried,width=fit,headstyle=italic,indentnext=yes,between=\blank,textdistance=.5em,closesymbol={\mathematics{\Box}},style=normal,indenting=yes] % Table of contents %% dots between... and subsubsubsection are not listed \setupcombinedlist[content][level=4,alternative=c] %% section = bold. % width= 10mm --> less space between num-letter %% line break after section. \setuplist[section][style=bold,width=10mm] \setuplist[section][before=\blank] %% margin = 10 mm. Put the subsection just bottom section. \setuplist[subsection][margin=10mm,width=10mm] \setuplist[subsubsection][margin=20mm,width=10mm] %\setuplist[subsection] %[distance=1em] % section = bold. % % Això ho trec d'un manual: %\setuplist[subsection] % [margin=1em, % numbercommand=\NumCom] %\def\NumCom#1{\hbox to 2em{\hfill #1}} % Set "Índex" like "Índex de continguts" \setupheadtext [ca] [content=Índex] % Definitions/abbreviations \define[1]\dist{d(\sigma_g(#1), \sigma_h(#1))} \define[1]\imp{{\bgroup\startframedtext[background=screen,frame=on,width=broad]#1\stopframedtext\egroup}} %\define[1]\imp{{\bgroup\startframedtext[background=color,backgroundcolor=lightblue,frame=on,width=broad]#1\stopframedtext\egroup}} % SPLIT \def\startsplit {\startalign} % no number by default \def\stopsplit {&\doalignNR[+][]\crcr % for a number on last line \stopalign} % Other \setupunderbar[alternative=b] % Fix underline style % For putting underline with spaces: \underbar{\dorecurse{40}~} % Start the text \starttext \section{Preliminars} \startdefinition Siguin $G$ un grup, $A$ un conjunt finit de generadors de $G$ i ${\cal P} = \langle A \mid R \rangle$ una presentació finita de $G$. Una paraula $w \in A^*$ es {\em nul-homotòpica} per ${\cal P}$ si, i només si, $\pi(w) = 1 \in G$, o, equivalentment, si $w$ forma un cicle dins el graf de Cayley $\Gamma_{G, A}$. \stopdefinition la defininció d'àrea posar que assumeixo que el conjunt de relacions conté també els simètrics. Totes les presentacions finites de $G$ tenen a $A$ com a conjunt finit de generadors de $G$. \section{Millores directes de les fites de la funció de Dehn per grups seccionables} \startlema[area-concatenacio] Siguin $G$ un grup, ${\cal P} = \langle A \mid R \rangle$ una presentació finita de $G$ i $u, v, w$ paraules nul-homotòpiques per ${\cal P}$. Si $w = u v$ dins el grup lliure $F(A)$, aleshores \startformula \text{area} (w) \leq \text{area}(u) + \text{area}(v). \stopformula \stoplema \startdemo Si $\text{area}(u) = N$ i $\text{area}(v) = M$, aleshores \startformula \startmathalignment \NC u \NC = \prod_{i=1}^N x_i^{-1} r_i x_i, \NR[+] \NC v \NC = \prod_{j=1}^M y_j^{-1} s_j y_j, \NR[+] \stopmathalignment \stopformula% per a alguns $x_i, y_j \in F(A)$, $r_i, s_j \in R$, on aquestes igualtats són dins el grup lliure $F(A)$. Com que $w = u v$ també dins el grup lliure, tenim que \placeformula[-] \startformula \startsplit \NC w = u v \NC = \bigl( \prod_{i = 1}^N x_i^{-1} r_i x_i \bigr) \cdot \bigl( \prod_{j=1}^M y_j^{-1} s_j y_j \bigr) \NR \NC \NC = (x_1^{-1} r_1 x_1)\cdots (x_N^{-1} r_N x_N) \cdot (y_1^{-1} s_1 y_1) \cdots (y_M^{-1} s_M y_M) \NR \NC \NC = \prod_{k=1}^{M+N} z_k^{-1} t_k z_k \stopsplit \stopformula on \startformula z_k = \startcases \NC x_k \MC 1 \leq k \leq N \NR \NC y_{k-N} \MC N+1 \leq k \leq N+M, \NR \stopcases t_k = \startcases \NC r_k \MC 1 \leq k \leq N \NR \NC s_{k-N} \MC N+1 \leq k \leq N+M. \NR \stopcases \stopformula Llavors, per definició, $\text{area}(w) \leq N+M = \text{area}(u) + \text{area}(v)$. \stopdemo \startlema[area-conjugats] Siguin $G$ un grup i ${\cal P} = \langle A \mid R \rangle$ una presentació finita de $G$. Si $w$ és una paraula nul-homotòpica per ${\cal P}$ i $x \in F(A)$, llavors \startformula \text{area}(x^{-1}wx) \leq \text{area}(w). \stopformula \stoplema \startdemo Suposem que $\text{area}(w) = N$. Aleshores existeixen $x_i \in F(A)$ i $r_i \in R$, amb $i \in \{1, \ldots, N\}$, tals que \placeformula[-] \startformula w = \prod_{i=1}^N x_i^{-1} r_i x_i, \stopformula on aquesta igualtat és dins el grup lliure $F(A)$. Aleshores, dins el grup lliure, tenim que \placeformula[-] \startformula \startsplit \NC x^{-1} w x \NC = x^{-1} \bigl( \prod_{i = 1}^N x_i^{-1} r_i x_i \bigr) x \NR \NC \NC = x^{-1} (x_1^{-1} r_1 x_1)\cdots (x_N^{-1} r_N x_N) x \NR \NC \NC = (x^{-1} x_1^{-1} r_1 x_1 x) (x^{-1} x_2^{-1} r_2 x_2 x)\cdots (x^{-1} x_N^{-1} r_N x_N x) \NR \NC \NC = \prod_{i=1}^N x^{-1} x_i^{-1} r_i x_i x \NR \NC \NC = \prod_{i=1}^N (x_i x )^{-1} r_i (x_i x), \stopsplit \stopformula per la qual cosa tenim que $\text{area}(x^{-1}wx) \leq N = \text{area}(w)$, que és el que volíem veure. \stopdemo \startlema[lema-tecnic] Siguin $G$ un grup, $A$ un conjunt finit de generadors de $G$ i ${\cal P} = \langle A \mid R \rangle$ una presentació finita de $G$, $g_1, g_2, g_3, g_4, g_5, g_6 \in G$ i els camins $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ i $g$ dins el graf de Cayley $\Gamma_{G, A}$ que uneixen els parells de punts $(g_1, g_2)$, $(g_2, g_3)$, $(g_3, g_4)$, $(g_4, g_5)$, $(g_5, g_6)$, $(g_6, g_1)$ i $(g_2, g_5)$, respectivament (tal com es representa a la figura). \placefigure [none,here] [fig:figura-de-6] {Esquema dels 6 punts} {\startcombination[1*1] { \starttikzpicture[scale=1] % Els punts \filldraw (0,0) circle (2pt); \filldraw (2,0) circle (2pt); \filldraw (4,0) circle (2pt); \filldraw (4,2) circle (2pt); \filldraw (2,2) circle (2pt); \filldraw (0,2) circle (2pt); % Les línies aleatòries entre punts \draw [decorate,decoration={random steps,segment length=2mm, amplitude=2pt}] (0,0) -- (2,0); \draw [decorate,decoration={random steps,segment length=2mm, amplitude=2pt}] (2,0) -- (4,0); \draw [decorate,decoration={random steps,segment length=2mm, amplitude=2pt}] (4,0) -- (4,2); \draw [decorate,decoration={random steps,segment length=2mm, amplitude=2pt}] (4,2) -- (2,2); \draw [decorate,decoration={random steps,segment length=2mm, amplitude=2pt}] (2,2) -- (0,2); \draw [decorate,decoration={random steps,segment length=2mm, amplitude=2pt}] (0,2) -- (0,0); \draw [decorate,decoration={random steps,segment length=2mm, amplitude=2pt}] (2,0) -- (2,2); % el sentit \draw [decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[blue,line width=1mm]{>}}}] (0,0) -- (2,0); \draw [decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[blue,line width=1mm]{>}}}] (2,0) -- (4,0); \draw [decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[blue,line width=1mm]{>}}}] (4,0) -- (4,2); \draw [decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[blue,line width=1mm]{>}}}] (4,2) -- (2,2); \draw [decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[blue,line width=1mm]{>}}}] (2,2) -- (0,2); \draw [decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[blue,line width=1mm]{>}}}] (0,2) -- (0,0); \draw [decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[blue,line width=1mm]{>}}}] (2,0) -- (2,2); % Els noms \draw (0, -0.3) node {$g_1$}; \draw (2, -0.3) node {$g_2$}; \draw (4, -0.3) node {$g_3$}; \draw (4, 2.3) node {$g_4$}; \draw (2, 2.3) node {$g_5$}; \draw (0, 2.3) node {$g_6$}; % Els noms dels camins \draw (1, 0.3) node {$a$}; \draw (3, 0.3) node {$b$}; \draw (3.7, 1) node {$c$}; \draw (3, 1.7) node {$d$}; \draw (1, 1.7) node {$e$}; \draw (0.3, 1) node {$f$}; \draw (2.3, 1) node {$g$}; % \draw[very thin,color=gray] (-5.1,-5.1) grid [step=1] (5.9,5.9); % \draw[->] (-5.2,0) -- (6.2,0) node[right] {$x$}; % \draw[->] (0,-5.2) -- (0,5.2) node[above] {$y$}; % r = \frac{-1}{3} x + 3 %\filldraw (3,2) circle (2pt); %\filldraw (-3,4) circle (2pt); %\draw (-6,5) -- (6,1); %\draw (1, 3.5) node {$r$}; \stoptikzpicture} { } \stopcombination} D'altra banda, siguin $w_1, w_2$ i $w \in A^*$ les paraules formades per la composició de les paraules corresponents a aquests camins (que seguirem indicant de la mateixa manera) definides com: \startformula \startmathalignment \NC w_1 \NC = f^{-1}e^{-1}g^{-1}a^{-1}, \NR[+] \NC w_2 \NC = d^{-1} c^{-1} b^{-1} g,\NR[+] \NC w \NC = f^{-1} e^{-1} d^{-1} c^{-1} b^{-1} a^{-1}.\NR[+] \stopmathalignment \stopformula Aleshores $w, w_1, w_2$ són nul-homotòpiques per ${\cal P}$ i a més, \startformula \text{area}(w) \leq \text{area}(w_1) + \text{area}(w_2). \stopformula \stoplema \startdemo De forma òbvia tenim que $w_1$, $w_2$ i $w$ són nul-homotòpiques per ${\cal P}$, ja el seus camins dins el graf de Cayley formen cicles (per exemple el camí corresponent a $w_1$ forma un cicle amb punt inicial i punt final $g_1$, perquè és composició de camins de $g_1$ a $g_6$, de $g_6$ a $g_5$, de $g_5$ a $g_2$ i, finalment, de $g_2$ a $g_1$). D'altra banda, dins el grup lliure $F(A)$ tenim que \startformula w = (f^{-1}e^{-1}g^{-1}a^{-1}) a g (d^{-1}c^{-1}b^{-1}g)g^{-1}a^{-1} = w_1 ag w_2 (ag)^{-1}. \stopformula Per tant, dins $F(A)$, $w = w_1 x^{-1} w_2 x$ amb $x \in F(A)$. Llavors, aplicant el lemes \in[area-concatenacio] i \in[area-conjugats], tenim que \startformula \text{area}(w) = \text{area}(w_1 x^{-1}w_2 x) \leq \text{area}(w_1) + \text{area}(x^{-1} w_2 x) \leq \text{area}(w_1) + \text{area}(w_2). \stopformula \stopdemo \startdefinition{Paraules congruents} Siguin $G$ un grup, $A$ un conjunt finit de generadors de $G$ i ${\cal P} = \langle A \mid R\rangle$ una presentació finita de $G$. Dues paraules $w_1, w_2 \in A^*$ nul-homotòpiques per ${\cal P}$ són {\em congruents} si, i només si, dins el graf de Cayley $\Gamma_{G, A}$ existeixen punts $g_1, g_2, g_3, g_4, g_5, g_6 \in G$ i camins $a, b, c, d, e, f, g$ que uneixen els parells de punts $(g_1, g_2)$, $(g_2, g_3)$, $(g_3, g_4)$, $(g_4, g_5)$, $(g_5, g_6)$, $(g_6, g_1)$ i $(g_2, g_5)$, respectivament, tals que les paraules corresponents a aquests camins (que seguirem indicant de la mateixa manera) satisfan \startformula \startmathalignment \NC w_1 \NC = f^{-1}e^{-1}g^{-1}a^{-1}, \NR[+] \NC w_2 \NC = d^{-1} c^{-1} b^{-1} g.\NR[+] \stopmathalignment \stopformula En aquest cas, indicarem amb $w_1 \sharp w_2$ a la paraula definida com \startformula w_1 \sharp w_2 = f^{-1} e^{-1} d^{-1} c^{-1} b^{-1} a^{-1}. \stopformula \stopdefinition Del lema previ i d'aquesta definició tenim que si $u$, $v$ són paraules congruents, aleshores $u \sharp v$ és nul-homotòpica per ${\cal P}$ i $\text{area}(u\sharp v) \leq \text{area}(u) + \text{area}(v)$, o sigui, tenim que la funció $\text{area} \colon \{w \in A^* \mid \text{nul-homotòpica per } {\cal P} \} \to \naturalnumbers$ és subadditiva per a paraules congruents, o sigui, subadditiva per l'operació $\sharp$. \startlema[lema0]Siguin $G$ un grup, $A$ un conjunt finit de generadors de $G$ i ${\cal P} = \langle A \mid R\rangle$ una presentació finita de $G$. Si $w$ és una paraula nul-homotòpica per ${\cal P}$, aleshores $d(1, w(t)) \leq {\lvert w\rvert}/2$, per a tot $t \in \naturalnumbers$. \stoplema \startdemo La distància $d(1, w(t))$ és menor o igual que la longitud del menor camí des d'$1$ a $w(t)$ que passa per sobre la corba. Si $t \leq {\lvert w\rvert }/2$, aleshores aquesta longitud és menor o igual que ${\lvert w\rvert}/2$, ja que podem seguir el camí sobre la corba que va de $w(t)$ a $w(0)$. Si $t > {\lvert w\rvert }/2$, llavors aquesta longitud també és menor igual que ${\lvert w\rvert }/2$, ja que podem seguir el camí sobre la corba de $w(t)$ a $w({\lvert w\rvert})$. En tot cas, $d(1, w(t)) \leq {\lvert w\rvert}/2$. \stopdemo \startlema[subadditivitat-area] Siguin $G$ un grup, $A$ un conjunt finit de generadors de $G$, ${\cal P} = \langle A \mid R \rangle$ una presentació finita de $G$, $\sigma \colon G \rightarrow A^*$ una secció d'amplada $\varphi$. Aleshores, per a tota paraula $w \in A^*$ nul-homotòpica per ${\cal P}$, existeixen $u_k$ paraules nul-homotòpiques per ${\cal P}$, amb $k \in \{1, \ldots, {\lvert w \rvert}^2/2\}$, de longitud $l(u_k) \leq 2\varphi({\lvert w \rvert}/2)+2$ tals que \startformula \text{area}(w) \leq \sum_{k=1}^{{{\lvert w \rvert}^2}/2} \text{area}(u_k). \stopformula \stoplema \startdemo Sigui $w$ una paraula nul-homotòpica per ${\cal P}$. Si $w = \varepsilon$, aleshores el resultat és obvi, ja que basta agafar $w_i = \varepsilon$. Si $\lvert w \rvert \geq 1$, considerem els següents objectes (tal com es mostra a la Figura \in[figura-area]): \startitemize[2] \item El conjunt d'índexos $I = \{(i,j) \mid i = 0, \ldots, {\lvert w \rvert}, j = 0, \ldots, {{\lvert w \rvert}^2}/2\}$. \item Per a tot $(i, j) \in I$, els punts $\sigma_{\pi(w(i))}(j)$ del graf de Cayley $\Gamma_{G, A}$, que indicarem amb $\sigma_{i}(j)$. \item Per a tots $(i, j), (i',j') \in I$, agafem un camí geodèssic $\rho_{(i,j)(i',j')}$ entre $\sigma_i(j)$ i $\sigma_{i'}(j')$. Escollim $\rho_{(i,{\lvert w \rvert}/2)(i+1,{\lvert w \rvert}/2)}$ de manera que sigui igual al camí geodèssic (de longitud unitat) sobre $w$ que uneix $\sigma_i(j)$ i $\sigma_{i+1}(j)$. \item Per a tot $(i, j) \in I$ tal que $(i+1,j), (i,j+1), (i+1,j+1) \in I$, sigui $\theta_{i, j}$ el camí determinat per la composició (en aquest ordre) dels camins geodèssics $\rho_{(i,j)(i,j+1)}$, $\rho_{(i,j+1)(i+1,j+1)}$, $\rho_{(i+1,j+1)(i+1,j)}$, $\rho_{(i+1,j)(i,j)}$, i $u_{i, j}$ la paraula corresponent a $\theta_{i,j}$. \item Per a tot $i \in \{0, \ldots, {\lvert w\rvert } -1\}$, sigui $\tau_i$ el camí determinat pels vèrtexs $\sigma_i(0) = \sigma_{i+1}(0) = 1$, $\sigma_i ({\lvert w \rvert}/2)$ i $\sigma_{i+1} ({\lvert w \rvert}/2)$ i per les composicions de camins \startformula \startmathalignment \NC \rho_{(i,0)(i,1)}\rho_{(i,1)(i,2)}\ldots \rho_{(i,{\lvert w \rvert}/2-1)(i,{\lvert w \rvert}/2)}, \NR[+] \NC \rho_{(i,{\lvert w \rvert}/2)(i+1,{\lvert w \rvert}/2)},\NR[+] \NC \rho_{(i+1,{\lvert w \rvert}/2)(i+1,{\lvert w \rvert}/2-1)}\ldots \rho_{(i+1,1)(i+1,0)}\rho_{(i+1,1)(i+1,0)}.\NR[+] \stopmathalignment \stopformula que uneixen, respectivament, $1$ amb $\sigma_i({\lvert w \rvert}/2)$, $\sigma_i({\lvert w \rvert}/2)$ amb $\sigma_{i+1}({\lvert w \rvert}/2)$, i $\sigma_{i+1}({\lvert w \rvert}/2)$ amb $1$. I indiquem amb $v_i$ la paraula corresponent a $\tau_i$. \stopitemize \placefigure [here] [figura-area] {Camins sobre $w$} {\startcombination[1*1] { \starttikzpicture[scale=1] % Els punts \filldraw (0,-4) circle (2pt); \filldraw (0.4216,3.9603) circle (2pt); % primer punt: avaluo ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)}); a t = 0.141 \filldraw (-0.4216,3.9603) circle (2pt); % primer punt: avaluo ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)}); a t = -0.141 % Les línies entre els punts \draw (-0.4216,3.9603) -- (0.4216,3.9603); \draw plot[domain=-3.141:-0.141,smooth,variable=\t] ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)}); \draw plot[domain=0.141:3.141,smooth,variable=\t] ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)}); \filldraw (0,-4) circle (2pt); % perquè me quedi el punt damunt. % Els combings \draw plot[domain=0:0.4216,smooth,variable=\t] ({-\t + \t* (\t - 0.4216)*sin(rand r)},{18.8812*\t -4 }); % el sentit d'omega \draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .9 with {\arrow[blue,line width=1mm]{<}}}] plot[domain=-3.141:3.141,smooth,variable=\t] ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)}); % Els noms \draw (0, -4.3) node {$1 \in G$}; %\draw (0.9, 8.3) node {$\pi(w(i))$}; %\draw (-0.9, 8.3) node {$\pi(w(i+1))$}; \draw (2.5, -3) node {$w$}; % Els noms dels camins %\draw (1, 0.3) node {$a$}; %\draw (3, 0.3) node {$b$}; %\draw (3.7, 1) node {$c$}; %\draw (3, 1.7) node {$d$}; %\draw (1, 1.7) node {$e$}; %\draw (0.3, 1) node {$f$}; %\draw (2.3, 1) node {$g$}; % PROVES %\draw[out=45,in=-45] (0,0) to (0.5,8); %\draw[color=blue,->] (0,0) .. controls (0.1,2) .. (0.2,3) .. controls (0.3,4) and (0.4,6) .. (0.5,8); %\draw (0,0) arc (-90:90:3 and 4); %\draw (0,0) arc (270:90:3 and 4); %\draw[color=green] plot[domain=-3.141:3.141,smooth,variable=\t] ({4*sin(\t + (.1 * rand) r)},{4*cos(\t r)}); %\draw (0,0) arc (-90:81.82:2 and 4); %\draw[decorate,decoration={random steps,segment length=2mm, amplitude=2pt}] (0,0) arc (-90:97.18:3.5 and 4); % \draw[very thin,color=gray] (-5.1,-5.1) grid [step=1] (5.9,5.9); % \draw[->] (-5.2,0) -- (6.2,0) node[right] {$x$}; % \draw[->] (0,-5.2) -- (0,5.2) node[above] {$y$}; % r = \frac{-1}{3} x + 3 %\filldraw (3,2) circle (2pt); %\filldraw (-3,4) circle (2pt); %\draw (-6,5) -- (6,1); %\draw (1, 3.5) node {$r$}; \stoptikzpicture} { } \stopcombination} \indentation Cada paraula $v_i$ és nul-homotòpica per ${\cal P}$, ja que el seu camí corresponent, $\tau_i$, forma un cicle dins el graf de Cayley $\Gamma_{G, A}$ (que té punt inicial i final $\sigma_i(0) = 1$). Per contrucció, \startformula w = v_0 \sharp (v_1 \sharp (\ldots, \sharp(v_{{\lvert w \rvert}-1})\ldots ), \stopformula llavors, per aplicació reiterada del Lema \in[lema-tecnic], tenim que \placeformula[vi] \startformula \text{area}(w) \leq \sum_{i=0}^{{\lvert w \rvert}-1} \text{area}(v_i). \stopformula \indentation D'altra banda, cada $u_{i,j}$ és nul-homotòpica per ${\cal P}$, ja que el seu camí corresponent, $\tau_{i,j}$, forma un cicle dins el graf de Cayley amb punt inicial i punt final $\sigma_i(j)$. A més, també per construcció, \startformula v_i = u_{i,0} \sharp (u_{i,1} \sharp (\ldots, \sharp(u_{i,{\lvert w \rvert}/2-1})\ldots ), \stopformula per la qual cosa, pel Lema \in[lema-tecnic], tenim que \placeformula[uij] \startformula \text{area}(v_i) \leq \sum_{j=0}^{{\lvert w \rvert}/2-1} \text{area}(u_{i,j}). \stopformula Aleshores, combinant (\in[vi]) i (\in[uij]) tenim que \placeformula[-] \startformula \text{area}(w) \leq \sum_{i=0}^{{\lvert w \rvert}-1} \sum_{j=0}^{{\lvert w \rvert}/2-1} \text{area}(u_{i,j}). \stopformula \indentation Pel Lema \in[lema0], tenim que cada $u_{i,j}$ té longitud $l(u_{i,j}) \leq 2 \varphi({\lvert w \rvert}/2)+2$. Aleshores, si reindexam aquest sumatori amb la bijecció \startformula \{u_{i, j} \mid i = 0, \ldots, {\lvert w \rvert}-1, j= 0, \ldots, {\lvert w \rvert}/2-1\} \longleftrightarrow \{u_k \mid k = 1, \ldots, {{\lvert w \rvert}^2}/2\}, \stopformula tenim que \startformula \text{area}(w) \leq \sum_{k=0}^{{{\lvert w \rvert}}^2/2} \text{area}(u_k) \stopformula amb $u_k$ paraules nul-homotòpiques per ${\cal P}$ tals que $l(u_k) \leq 2 \varphi({\lvert w \rvert}/2)+2$, que és el que volíem veure. \stopdemo \startproposition[desigualtat-dehn] Siguin $G$ un grup, $A$ un conjunt finit de generadors de $G$, ${\cal P} = \langle A \mid R \rangle$ una presentació finita de $G$ i una secció $\sigma \colon G \to A^*$ amb amplada $\varphi$. Aleshores \startformula \delta_{{\cal P}} (n) \leq \frac{1}{2} \delta_{{\cal P}} (2 \varphi(n/2)+2) \cdot n^2. \stopformula \stopproposition \startdemo Sigui $w$ una paraula nul-homotòpica per ${\cal P}$. Pel Lema \in[subadditivitat-area], tenim que existeixen $u_k$ paraules nul-homotòpiques per ${\cal P}$, amb $k \in \{1, \ldots, {\lvert w \rvert}/2\}$, de longitud $l(u_k) \leq 2 \varphi({\lvert w \rvert}/2) +2$ tals que \startformula \text{area}(w) \leq \sum_{i=1}^{{{\lvert w \rvert}^2}/2} \text{area}(u_k). \stopformula Com que $l(u_k) \leq 2 \varphi({\lvert w \rvert}/2) +2$, aleshores $\text{area}(u_k) \leq \delta_{{\cal P}}(2 \varphi({\lvert w \rvert}/2) +2)$. A més, de forma òbvia, ${\lvert w \rvert} \leq l(w)$. Per tot això, tenim que \placeformula[-] \startformula \startsplit \NC \text{area}(w) \NC \leq \sum_{k=1}^{{{\lvert w \rvert}^2}/2} \text{area}(u_k) \NR \NC \NC \leq \sum_{k=1}^{{{\lvert w \rvert}^2}/2} \delta_{{\cal P}} (2 \varphi({\lvert w \rvert}/2) +2) \NR \NC \NC \leq \frac{1}{2} {\lvert w \rvert}^2 \cdot \delta_{{\cal P}} (2 \varphi({\lvert w \rvert}/2) +2) \NR \NC \NC \leq \frac{1}{2} {l(w)}^2 \cdot \delta_{{\cal P}} (2 \varphi({l(w)}/2) +2). \stopsplit \stopformula \indentation Llavors \placeformula[-] \startformula \startsplit \NC \delta_{{\cal P}} (n) \NC = \max \{ \text{area}(w) \mid w \text{ nul-homotòpica per }{\cal P}, l(w) \leq n\}\NR \NC \NC \leq \max \{ \frac{1}{2} {l(w)}^2 \cdot \delta_{{\cal P}} (2 \varphi({l(w)}/2) +2) \mid w \text{ nul-homotòpica per } {\cal P}, l(w) \leq n\} \NR \NC \NC \leq \frac{1}{2} n^2 \cdot \delta_{{\cal P}} (2 \varphi(n/2) +2) \stopsplit \stopformula que és el que volíem veure. \stopdemo \definemathcases[displaycases][style=\displaystyle] \startlema[equacio-funcional] Sigui $F\colon \naturalnumbers \to \reals $ una funció que cumpleix la recursió $F(n) = F(n-2) + 2 \ln n + \ln \frac{1}{2}$. Aleshores \placeformula[-] \startformula F(n) = \startdisplaycases \NC F(0) + 2 \ln n!! - \frac{n}{2} \ln 2 \MC \text{si } n \text{ parell} \NR \NC F(1) + 2 \ln n!! - \frac{n+1}{2} \ln 2 \MC \text{si } n \text{ senar} \NR \stopdisplaycases \stopformula on $n!!$ denota el doble factorial, definit recursivament per $1!! = 1$, $0!! = 1$, $n!! = n \cdot (n-2)!!$. \stoplema \startdemo Com que la recursió $F(n) = F(n-2) + 2 \ln n + \ln \frac{1}{2}$ és d'ordre $2$, per la Teoria d'equacions en diferències, la solució d'aquesta recursió és única si es coneixen les condicions inicials $F(1)$ i $F(0)$. Per tant, basta comprovar que si $F$ té aquesta forma, aleshores $F$ compleix la recursió, el que es pot veure amb un simple càlcul. \stopdemo \starttheorem[Theorema-n!!-Presentacions] Siguin $G$ un grup, $A$ un conjunt finit de generadors de $G$, ${\cal P} = \langle A \mid R \rangle$ una presentació finita de $G$ i $\sigma \colon G \to A^*$ una secció d'amplada $\varphi$ tal que existeix un $n_0 \in \naturalnumbers$ tal que $\varphi(n) < n-1$ per a tot $n \geq n_0$. Aleshores existeix $C$ constant, que només depèn de $n_0$ (i de ${\cal P}$), tal que \startformula \delta_{{\cal P}} (n) \leq C \cdot \frac{(n!!)^2}{2^{n/2}}, \stopformula per a tot $n \geq n_0$. A més, $C$ compleix que \startformula C \geq \frac{(\delta_{{\cal P}}(n_0)+1)\cdot 2^{\frac{n_0+1}{2}}}{(n_0!!)^2}. \stopformula \stoptheorem \startdemo Per la Proposició \in[desigualtat-dehn], tenim que \startformula \delta_{{\cal P}} (n) \leq \frac{1}{2} \delta_{{\cal P}} (2 \varphi(n/2)+2) \cdot n^2. \stopformula Com que $\varphi(n) < n-1$ per a tot $n \geq n_0$, llavors $\varphi(n) \leq n-2$, ja que la funció $\varphi$ només pren valors naturals. Per això, per a tot $n \geq n_0$, tenim que $2 \varphi(n/2) +2 \leq n-2$. Per tant, $\delta_{{\cal P}}$ compleix la desigualtat \placeformula[desigualtat-delta-p] \startformula \delta_{{\cal P}} (n) \leq \frac{1}{2} \delta_{{\cal P}} (n-2) \cdot n^2, \stopformula per a tot $n \geq n_0$. Sigui $f\colon \naturalnumbers \to \naturalnumbers\setminus \{0\}$ una funció tal que compleix que \placeformula[desigualtat-f] \startformula \startmathalignment \NC f(n) \NC = \frac{1}{2} f(n-2) \cdot n^2, \NR[+] \NC f(n_0) \NC \geq \delta_{{\cal P}}(n_0) \NR \stopmathalignment \stopformula La desigualtat (\in[desigualtat-delta-p]) implica que $\delta_{{\cal P}}(n) \leq f(n)$ per a tot $n \geq n_0$. Vegem-ho per inducció sobre $n$. \startitemize[1] \item Si $n= n_0$, aleshores $\delta_{{\cal P}}(n_0) \leq f(n_0)$ per construcció de $f$. \item Suposem-ho cert fins a $n$ i provem-ho per a $n+1$. Aplicant hipòtesi d'inducció i (\in[desigualtat-delta-p]), tenim que \startformula f(n+1) = \frac{1}{2} f(n-1) \cdot (n+1)^2 \geq \frac{1}{2} \delta_{{\cal P}} (n-1) \cdot (n+1)^2 \geq \delta_{{\cal P}} (n+1). \stopformula \stopitemize \indentation Considerem la funció $F \colon \naturalnumbers \to \reals$ definida per $F(n) = \ln f(n)$. Per (\in[desigualtat-f]) prenent logaritmes i operant, tenim que $F$ compleix que \placeformula \startformula \startmathalignment \NC F(n) \NC = F(n-2) + 2 \ln n + \ln \frac{1}{2}, \NR[+] \NC F(n_0) \NC = \ln f(n_0)\NR \stopmathalignment \stopformula Pel Lema \in[equacio-funcional], $F$ és de la forma \placeformula[-] \startformula F(n) = \startdisplaycases \NC F(0) + 2 \ln n!! - \frac{n}{2} \ln 2 \MC \text{si } n \text{ parell} \NR \NC F(1) + 2 \ln n!! - \frac{n+1}{2} \ln 2 \MC \text{si } n \text{ senar} \NR \stopdisplaycases \stopformula Agafant $f(n_0) \geq \delta_{{\cal P}}(n_0) + 1 > 0$, $F(0) = \ln C_1$ i $F(1) = \ln C_2$ amb $C_1$ i $C_2$ constants, que només depenen de $n_0$ i de $\delta_{{\cal P}}$, que satisfan \startformula \startmathalignment \NC C_1 \NC = \frac{f(n_0) \cdot 2^{n_0/2}}{(n_0!!)^2}, \NR[+] \NC C_2 \NC = \frac{f(n_0) \cdot 2^{\frac{n_0+1}{2}}}{(n_0!!)^2},\NR \stopmathalignment \stopformula aleshores tenim que $F(n_0) = \ln f(n_0)$. Notem que és necessari agafar $f(n_0) > 0$ per assegurar l'existència de $\ln C_1$ i $\ln C_2$ i que sempre podem fer aquesta elecció perquè $f(n_0) \geq \delta_{{\cal P}}(n_0)$. Per tot això, $F$ té la forma \placeformula[-] \startformula F(n) = \startdisplaycases \NC \ln C_1 + 2 \ln n!! - \frac{n}{2} \ln 2 \MC \text{si } n \text{ parell} \NR \NC \ln C_2 + 2 \ln n!! - \frac{n+1}{2} \ln 2 \MC \text{si } n \text{ senar} \NR \stopdisplaycases \stopformula \indentation De forma clara, $F(n) \leq \ln C_2 + 2 \ln n!! - \frac{n}{2} \ln 2$, per la qual cosa tenim que \startformula \delta_{{\cal P}} (n) \leq f(n) = e^{F(n)} \leq C_2 \cdot \frac{(n!!)^2}{2^{n/2}}, \stopformula per a tot $n \geq n_0$. Llavors si diem $C= C_2$, tenim el que volíem. \stopdemo \starttheorem Siguin $G$ un grup, $A$ un conjunt finit de generadors de $G$ i $\sigma \colon G \to A^*$ una secció d'amplada $\varphi$ tal que existeix $n_0 \in \naturalnumbers$ tal que $\varphi(n) < n-1$ per a tot $n \geq n_0$. Aleshores la funció de Dehn de $G$, $\delta_G$, safisfà \startformula \delta_{G} (n) \simeq \frac{(n!!)^2}{2^{n/2}}, \stopformula per a tot $n \geq n_0$. \stoptheorem \startdemo Sigui ${\cal P} = \langle A \mid R\rangle$ una presentació qualsevol de $G$. Pel Teorema \in[Theorema-n!!-Presentacions] existeix una constant $C_{{\cal P}, n_0}$, que depèn de ${\cal P}$ i de $n_0$, tal que \startformula \delta_{{\cal P}} (n) \leq C_{{\cal P},n_0} \cdot \frac{(n!!)^2}{2^{n/2}}. \stopformula per a tot $n \geq n_0$. Com que les funcions de Dehn de dues presentacions de $G$ són $\simeq$-equivalents \cite[extras={, Proposició~1.3.3}][bridson-tutorial], llavors la funció de Dehn, $\delta_G$, és $\simeq$-equivalent a $\delta_{\cal P}$ i, per tant, \startformula \delta_G \simeq \frac{(n!!)^2}{2^{n/2}}, \stopformula per a tot $n \geq n_0$. \stopdemo \startnote \startitemize[1] \item Aquest teorema redueix de forma notable les fites superiors de les funcions de Dehn conegudes per grups seccionables. Bridson provà que si $G$ és un grup tal que admet una secció d'amplada $\varphi$ tal que $\varphi(n) < n-1$ assimptòticament, aleshores la seva funció de Dehn $\delta_G$ té ordre $e^{kn^3}$ \cite[extras={, Teorema~4.3}][bridson], i Riley demostrà que si $G$ admet una secció {\em geodèssica} tal que $\varphi(n) < n-1$ de forma assimptòtica, aleshores $\delta_{G}(n)$ és equivalent linealment a $n!$ \cite[extras={, Teorema~2}][riley]). Com que $(n!!)^2$ és una fita superior més baixa i no és equivalent linealment a cap de les dues fites anteriors, aleshores aquest teorema millora les fites. Record que $f$ és equivalent linealment a $g$ si, i només si, $f \preceq g$ i $g \preceq f$, on $f \preceq g$ significa que existeix una constant $k > 0$ tal que $f(x) \leq k g(kx + k) + kx + k$ per a tot $x \geq 0$. \item Tenim molt més que $\delta_G (n) < (n!!)^2$, tal com posa de manifest l'apartat $a$ del teorema. \item La Proposició \in[desigualtat-dehn] també implica fites inferiors, molt grolleres per cert. \stopitemize Podem confirmar aquest teorema amb els resultats següents: \starttheorem[teorema4.2millorat]Siguin $G$ un grup, $A$ un conjunt finit de generadors de $G$, $\sigma \colon G\rightarrow A^*$ una secció de $G$ respecte de $A$ i $F\colon \naturalnumbers \rightarrow \naturalnumbers$ una funció qualsevol tal que $F(n) \geq 1$ per a tot $n > 0$. Si $\varphi(n) < n-1$ per a $n$ suficientment gran i $F$ compleix que \startformula F(n) \geq \frac{1}{2} n^2 F\big(2 \varphi({n}/{2}) + 2\big) \stopformula per a $n$ suficientment gran, aleshores $F$ és una funció isoperimètrica de $G$. \stoptheorem \startdemo Basta veure que $F$ és una funció isoperimètrica per a alguna presentació finita de $G$, és a dir, que existeix una presentació finita ${\cal P}$ de $G$ tal que qualsevol paraula nul-homotòpica $w$ de longitud $l(w) \leq n$ satisfà que $\text{area}(w) \leq F(n)$. Sigui $N$ tal que $\varphi(n) < n-1$ i $F(n) \geq \frac{1}{2} n^2 F(2 \varphi(n/2) +2)$ per a tot $n \geq N$. Tenim que ${\cal P} = \langle A \mid R_0 \rangle$ és una presentació finita de $G$, on $R_0 = \{w \in A^* \mid w \text{ nul-homotòpica, } l(w) \leq 2N\}$ \cite[extras={, Proposició~3.1}][bridson]. Sigui $w$ una paraula nul-homotòpica per ${\cal P}$. Provem per inducció sobre $l(w) $ que $F$ és una funció isoperimètrica per aquesta presentació. \startitemize[1] \item Si $w$ és una paraula nul-homotòpica tal que $l(w)\leq 2N$, aleshores $\text{area}(w) = 1$ (ja que, per estar $w \in R_0$, existeix un diagrama de van Kampen ${\cal D}$ sobre ${\cal P}$ que té $w$ com a frontera i com a única cara. A més, $C({\cal D}) = \text{area}(w)= 1$). Com que $F(n) \geq 1$ per a tot $n \geq 1$, tenim que $\text{area}(w) = 1 \leq F(2N)$. \item Suposem que $l(w) = n > 2N$ i que qualsevol paraula nul-homotòpica de longitud $r < n$, $w_r$, és tal que $\text{area}(w_r) \leq F(r)$. Vegem que $\text{area}(w) \leq F(n)$. Pel Lema \in[subadditivitat-area], existeixen $u_k$ paraules nul-homotòpiques per ${\cal P}$, amb $k = \{1, \ldots, n^2/2\}$, tals que \startformula \text{area}(w) \leq \sum_{i=1}^{n^2/2} \text{area}(u_k) \stopformula i $l(u_k) \leq 2 \varphi(n/2) + 2$. Com que $\varphi(n) < n-1$, tenim que $l(u_k) \leq n-2$ i per tant podem aplicar hipòtesi d'inducció. Aplicant la desigualtat sobre $F$ que suposam per hipòtesi, tenim que \placeformula[-] \startformula \startsplit \NC \text{area}(w) \NC \leq \sum_{i=1}^{n^2/2} \text{area}(u_k) \NR \NC \NC \leq \sum_{i=1}^{n^2/2} F(2 \varphi(n/2) + 2) \NR \NC \NC \leq \frac{1}{2} n^2 F(2 \varphi(n/2) + 2) \NR \NC \NC \leq F(n). \stopsplit \stopformula \stopitemize \stopdemo \startcorollary $(n!!)^2$ és una funció isoperimètrica. \stopcorollary \startdemo Pel Teorema \in[teorema4.2millorat] basta veure que la funció $n \mapsto (n!!)^2$ compleix \stopdemo \completepublications[criterium=cite] %all per tots \stoptext

2 6

Limited with rule?
by Matthijs Kooijman 10 Jun '09

10 Jun '09

Hi all, I've been trying to create a horizontal rule of limited width, using MkIV. My best approach so far is using a \framed with only a bottom frame: \framed[frame=off,bottomframe=on,width=.5\textwidth]{} However, this is not quite elegant. Context provides two commands for drawing lines, \hairline and \thinrule (which seem to do the same from looking at their definition in pack-rul.mkiv, though \hairline does not seem to respond to \setupthinrules for some reason I cannot discern...). However, \setupthinrules accepts a lot of options (including height and depth, which get passed to \hrule, but there is no width option (nor does there seem any way to get \thinrule to pass a width to \hrule). Another attempt to put a frameless \framed around the \hairline (which gets as wide as the containing box) failed as well. The line kept getting vertical, even when I sprinkeled some \dontleavehmod or \pars around... Any suggestions on how to do this? Gr. Matthijs

2 3

\typebuffer with typing style
by Matthijs Kooijman 10 Jun '09

10 Jun '09

Hi, I'm trying to use a buffer together with a custom typing style using the latest beta with MkIV, but so far I've only managed to do this using \startFOO and \stopFOO inside the buffer: \definetyping[FOO][option=FOO] \startbuffer[bar] \startFOO baz \stopFOO \stopbuffer \getbuffer[bar] Since the \getbuffer is really inside some self-defined command, I'd like to put the startFOO / stopFOO in there as well. However, I can't seem to find a way to do this, since \startFOO \getbuffer[bar] \stopFOO gives me compile errors. It seems the canonical way to define typing and buffers is using \typebuffer, but that only seems to work with the default typing style. I'd like to do the following: \definetyping[FOO][option=FOO] \startbuffer[bar] baz \stopbuffer \typebuffer[FOO][bar] From looking at buff-ini.mkiv it seems typebuffer has some code to handle a second argument, but it seems to always throw it away (as far as I can understand this Tex stuff... :-). Is there some way to achieve this? Would it be good to make \typebuffer support this if there isn't? Gr. Matthijs

2 5