Hi,
I have a document and I get this error:
publications : warning: cite argument riley-tesi unknown on 139
references : unknown reference [][0]
section : 1.4 Més d'una secció
section : 1.5 $p_w$
section : 1.6 altres
{vertical mode: \tracingstats}
{\tracingpages}
{\tracingoutput}
{\tracinglostchars}
{\tracingmacros}
{\tracingparagraphs}
{\tracingrestores}
{\showboxbreadth}
{\showboxdepth}
{\tracinggroups}
{\tracingifs}
{\tracingscantokens}
{\tracingnesting}
{\tracingassigns}
{into \tracingassigns=2}
{\errorstopmode}
{\tracingonline}
{changing \tracingonline=1}
Completed box being shipped out [33.33]
Memory usage before: 5614&778894; after: 919&777521; still untouched: 930938
title : - Refer\dochar {232}ncies
[34.34]
title : - Índex alfabètic
(./memoria.tuo
! Extra }, or forgotten $.
\doregistertexthowto ...?id #1\c!textcommand }{#2}
\dostopattributes
\dohandleregisterentry ...exthowto {\v!index }{#1}
\fi \egroup \!!doneafalse
\c!entryb ...ry {\v!index }{mitjan respecte de $k}
\global
\firstregisterentr...
<argument> \c!entrya \c!entryb
\c!entryc \c!entryd
\secondoftwoarguments #1#2->#2
\dodosetpageregisterpageA ...\c!entryc \c!entryd }
\global \let \c!entrya
\re...
...
l.167 ...e{index}{,}{24}{2--0-1-3-0-0-0-0--32}{32}
%
? x
{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/lm/lm-ec.enc}{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvip
s/lm/lm-mathsy.enc}{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/lm/lm-mathit.enc}{/usr/sha
re/texmf/fonts/enc/dvips/lm/lm-rm.enc}{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/lm/lm-m
athex.enc}</usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmbx10.pfb></usr/share/texmf/
fonts/type1/public/lm/lmex10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmmi10
.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmmi6.pfb></usr/share/texmf/fonts/
type1/public/lm/lmmi7.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmmi8.pfb></u
sr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmmi9.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/pu
blic/lm/lmr10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmr6.pfb></usr/share/
texmf/fonts/type1/public/lm/lmr7.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lm
r8.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmr9.pfb></usr/share/texmf/fonts
/type1/public/lm/lmri10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmri9.pfb><
/usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmsy10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1
/public/lm/lmsy6.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmsy7.pfb></usr/sh
are/texmf/fonts/type1/public/lm/lmsy8.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/
lm/lmsy9.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmtt10.pfb></usr/share/tex
mf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/msam10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/t
ype1/bluesky/ams/msbm10.pfb>
Output written on memoria.pdf (34 pages, 424021 bytes).
Transcript written on memoria.log.
TeXExec | runtime: 18.095553
xan@rulot:~/Desktop/TFM/TFM/nou$
The problem appears after section \section{$\varphi_k$}, because if I
put \stoptext after, all is ok. Anyone could see the problems? I attach
the file. Please, help me.
Xan.
% interface=en output=pdftex
%\environment capcalera.context % Capçalera
% Regime
\enableregime[utf]
% Choose a font
\setupbodyfont [cmr,11pt] % cmr, 11pt
% Be tolerant with paragraph building
\setuptolerance [horizontal,verytolerant,stretch]
% Choose a language, and associated hyphenation rules.
%\language [ca]
\mainlanguage[ca]
% Page number
\setuppagenumbering [location={footer}]
% White space between paragraphs
%\setupwhitespace [big]
% Paper size
\setuppapersize [a4]
% Margins
%\setuplayout [grid=yes, footer=0.5\footerheight, header=0.5\headerheight]
%\setuplayout[footer=2cm, header=2cm]
%\showlayout
%\showframe
%\showsetups
% Format de marges
%\setuplayout[topspace=1.5cm, % marge d'adalt
%margin=1.5cm, %marges dels costats
%header=1.0cm,%separació entre adalt i primera línia
%footer=1.0cm,%separació entre abaix i darrera línia
%width=fit,height=fit,backspace=2cm]
% Enable colors and activate hyperlinks
\setupcolors [state=start]
\definecolor[lightblue][r=0.5, g=0.5, b=1.0]
%\setupinteraction [state=start, color=lightBlue]
%\setupurl[style=small, space=yes]
\setupurl[space=yes]
% Enumerate the URLs
\useURL[bib:crm-link][http://www.crm.cat/Conferences/0405/WordProblem/publications.htm][][http://www.crm.cat/Conferences/0405/WordProblem/publications.htm]
\useURL[bib:bridson-tutorial-link][http://people.maths.ox.ac.uk/\~{}bridson/papers/bfs/][][http://people.maths.ox.ac.uk/\~{}bridson/papers/bfs/]
\useURL[bib:bernasconi-tesi-link][http://www.math.utah.edu/\~{}sg/Papers/bernasconi-thesis.pdf][][http://www.math.utah.edu/\~{}sg/Papers/bernasconi-thesis.pdf]
\useURL[bib:quasi-isometries-link][www.math.utah.edu/\~{}malone/QI/notes.pdf][][www.math.utah.edu/\~{} malone/QI/notes.pdf]
\useURL[bib:rees-link][http://msp.warwick.ac.uk/gtm/][][http://msp.warwick.ac.uk/gtm/]
%\useURL[bib:open-problems-link][http://www.math.mcgill.ca/\~{}alexeim/Publications/All_files_new/Openproblem_final_40.pdf][][http://www.math.mcgill.ca/\~{}alexeim/Publications/All_files_new/Openproblem_final_40.pdf]
% Fonts
%% Chapters...
\setupheads[3=flushleft]
\setuphead[chapter][style={\bfd}]
\setuphead[section][style={\bfc}, header=nomarking]
\setuphead[subsection][style={\bfb}]
\setuphead[subsubsection][style={\bfa}]
%\setuphead[section][textstyle=bold]
%% Italic in emph (by default is slanted)
\setupbodyfontenvironment[default][em=italic]
% Bibliography options
% BIBTEX
\usemodule[bib]
\setupbibtex[database=memoria,sort=author]
\setuppublications [alternative=ams,sorttype=bbl, criterium=cite]%
\setupheadtext[ca][pubs=Referències]
\setuppublicationlist[authoretallimit=3]
\setuppublicationlist[authoretaltext={\it\ et al.}]
\setuppublicationlist[authoretaldisplay=1]
%Indentation
\setupheads[indentnext=yes]
\setupindenting[yes,small,first]
%\setupformulae[indentnext=yes]
% Vertical spaces between paragraphs
\setupwhitespace[small]
%Itemize
\setupitemize[each][indentnext=no,margin=2em] % [identnext=yes,margin=2em]
\setupitemize[each][headstyle=bold]
%\setupitemize[a][left=(,right=),stopper=]
% Mathematical packets
%\usemodule[newmat]
%\usemodule[math-ams]
% Heads and footers
%\setupfootertexts[][{\tfxx \currentdate}]
%\setupfootertexts[\pagenumber/\lastpage]
%\setupfooter[text][before=\hrule]
%\setupheader[text][after=\hrule]
%\setupheadertexts[{\tfx Màster de Matemàtiques}][{\tfx \jobname.\ConTeXt{}.\currentdate}]
%\setupheadertexts[][{\tfx \currentdate}]
% hyphenating
\hyphenation{do-cu-ment}
\hyphenation{pro-ble-ma}
\hyphenation{es-crip-tu-ra}
\hyphenation{ge-ne-ra-lit-za-ció}
\hyphenation{cor-res-po-nents}
\hyphenation{cor-res-po-nent}
\hyphenation{pa-rells}
\hyphenation{ge-ne-rat}
\hyphenation{re-so-lu-ble}
\hyphenation{ge-ne-ra-dors}
\hyphenation{re-pre-sen-ta-rem}
\hyphenation{cons-ta}
\hyphenation{e-xis-tei-xen}
\hyphenation{e-qui-va-lent}
\hyphenation{res-pec-ti-va-ment}
\hyphenation{res-pec-te}
\hyphenation{a-sin-crò-ni-ca}
\hyphenation{sin-crò-ni-ca}
\hyphenation{par-ti-cu-lar}
\hyphenation{ge-ne-ra-lit-zà}
\hyphenation{co-mo-di-tat}
\hyphenation{lo-ga-rit-me}
\hyphenation{lo-ga-rit-mes}
\hyphenation{am-pla-da}
\hyphenation{su-fi-cient-ment}
% Modules
\usemodule[tikz]
\usemodule[pgfmath]
\usetikzlibrary[arrows,calc,decorations.pathmorphing,decorations.markings]
%\usetikzlibrary[trees]
%\usetikzlibrary[mindmap]
% AMSTHM equivalent
%% Exercici
\defineenumeration
[exercici]
[text={Problema},headstyle=bold,between=\blank,titledistance=0em,textdistance=1em,
stopper={.\space},location=serried,left={\bgroup\bf},right={\egroup},width=fit,before={\bgroup\startframedtext[background=screen,frame=off,width=broad]},after={\stopframedtext\egroup}]
%% Lema
\defineenumeration
[mylema]
[text={Lema}, % Què es mostra
before={\blank[big]}, % abans de lema, un bigskip
after={\blank[big]}, % després de lema, un bigskip
headstyle=bold, % Negreta per la capçaleras
%between=\blank, % Entre Lemmes una línia en blanc
titledistance=.5em, % espai entre número i parèntesis.
textdistance=.5em, % espai entre ) i text
stopper={.\space}, % Com acaba. Després de parèntesis un '.'
location=serried,
width=fit, % que ocupi tot l'espai
style=italic, % estil del text
title=yes, % si puc posar o no arguments opcionals
titlestyle=bf, % estil del títol
way=bytext, % enumerar en tot el document
conversion=numbers,indenting=yes] % enumera amb arabic
%% Proposició, corol·laris, teoremes.
%% Comparteix els nombres amb lema
%% Si volem que vagin a part, hem de posar 'number=proposition'
\defineenumeration
[myproposition]
[mylema]
[text={Proposició}]
\defineenumeration
[mycorollary]
[mylema]
[text={Corol·lari}]
\defineenumeration
[mytheorem]
[mylema]
[text={Teorema}]
\defineenumeration
[myconjecture]
[mylema]
[text={Conjectura}]
%% Definició
\defineenumeration
[mydefinition]
[mylema]
[text={Definició},style=tf,titlestyle=bf,indenting=yes]
\defineenumeration
[mynotation]
[mydefinition]
[text={Notació},style=tf,titlestyle=bf,indenting=yes]
\defineenumeration
[mynota]
[mydefinition]
[text={Nota},style=tf,titlestyle=bf,indenting=yes]
%% Demostració
\defineenumeration[mydemo][text={Demostració.\space},number=no,location=serried,width=fit,headstyle=italic,indentnext=yes,between=\blank,textdistance=.5em,closesymbol={\mathematics{\Box}},style=normal,indenting=yes]
% Table of contents
%% chapter = bold.
\setuplist[chapter][style=bold,width=10mm]
\setuplist[chapter][before=\blank]
%% dots between... and subsubsubsection are not listed
\setupcombinedlist[content][level=4,alternative=c]
%% section = bold. % width= 10mm --> less space between num-letter
%% line break after section.
\setuplist[section][width=10mm]
%\setuplist[section][before=\blank]
%% margin = 10 mm. Put the subsection just bottom section.
\setuplist[subsection][margin=10mm,width=10mm]
\setuplist[subsubsection][margin=20mm,width=13mm]
%\setuplist[subsection] %[distance=1em] % section = bold. %
% Això ho trec d'un manual:
%\setuplist[subsection]
% [margin=1em,
% numbercommand=\NumCom]
%\def\NumCom#1{\hbox to 2em{\hfill #1}}
% Set "Índex" like "Índex de continguts"
\setupheadtext [ca] [content=Índex]
% Definitions/abbreviations
\define[1]\dist{d(\sigma_g(#1), \sigma_h(#1))}
\define[1]\imp{{\bgroup\startframedtext[background=screen,frame=on,width=broad]#1\stopframedtext\egroup}}
%\define[1]\imp{{\bgroup\startframedtext[background=color,backgroundcolor=lightblue,frame=on,width=broad]#1\stopframedtext\egroup}}
% SPLIT
\def\startsplit
{\startalign} % no number by default
\def\stopsplit
{&\doalignNR[+][]\crcr % for a number on last line
\stopalign}
% GROUP FOR FORMULAS WITH CASES.
\definemathmatrix[GROUP][left={\left\{\,}, right={\right.},align={left},style=\displaystyle,distance=0.2em]
% GATHER
\definemathalignment[gather][n=1,align=middle]
% Other
%\setupunderbar[alternative=b] % Fix underline style
% For putting underline with spaces: \underbar{\dorecurse{40}~}
% Define new register for the Index of Symbols
\defineregister[mysymbol][mysymbols]
% Setup figures:
%\setupfloat[figure][spacebefore=5*big,spaceafter=big]
\setupheadtext [ca] [figures=Llista de figures]
% Start the text
\starttext
\version[concept]
%\input memoria-preliminars.context
\chapter{La meva contribució}
En aquest capítol es detallarà la meva contribució al camp de la Teoria Geomètrica de Grups i, en concret, al problema de la paraula. De forma general, aquesta contribució consisteix en la millora de l'ordre de la funció de Dehn per als grups que admetin una secció geodèsica $\sigma$ tal que $\varphi_{\sigma}(n) < n-1$, per a $n$ suficientment gran, i en diverses generalitzacions de l'amplada d'una secció.
\section{Grups amb seccions geodèsiques d'am\-plada no molt gran}
Si un grup $G$ admet una secció geodèsica $\sigma$ tal que $\Phi_{\sigma}(n) < n-1$ per a $n$ suficientment gran, aleshores $G$ té el problema de la paraula resoluble i, a més, la seva funció de Dehn $\delta_G$ és tal que $\delta_G (n) \preceq n!$ (Teorema~\in[thme:teorema-riley]). En aquesta secció, millorarem aquesta fita superior de la funció de Dehn per als grups que admetin una secció geodèsica $\sigma$ tal que $\varphi_{\sigma} (n) < n-1$, per a $n$ suficientment gran.
En primer lloc, demostrarem una sèrie de lemes que ens conduiran a veure que, per a qualsevol presentació ${\cal P}$, la funció $\text{area}_{\cal P}$ és subadditiva per a certa operació entre paraules nul-homotòpiques, el que implicarà una desigualtat de la funció de Dehn (Proposició~\in[thmi:desigualtat-dehn]).
\startmylema[thmi:area-concatenacio] Siguin $G$ un grup, ${\cal P} = \langle X \mid R \rangle$ una presentació finita de $G$ i $u, v, w \in {(X \cup X^{-1})}^*$ paraules nul-homotòpiques per ${\cal P}$. Si $w = u v$ dins el grup lliure $F(X)$,\footnote{Recordem que dues paraules $w_1$, $w_2$ sobre ${(X \cup X^{-1})}^*$ són iguals dins el grup lliure si $[w_1]_{\sim} = [w_2]_{\sim} \in F(X)$.} aleshores
\startformula
\text{area}_{\cal P} (w) \leq \text{area}_{\cal P}(u) + \text{area}_{\cal P}(v).
\stopformula
\stopmylema
\startmydemo Si $\text{area}_{\cal P}(u) = N$ i $\text{area}_{\cal P}(v) = M$, aleshores
\startformula
\startmathalignment
\NC u \NC = \prod_{i=1}^N x_i^{-1} r_i x_i, \NR
\NC v \NC = \prod_{j=1}^M y_j^{-1} s_j y_j, \NR
\stopmathalignment
\stopformula%
per a alguns $x_i, y_j \in F(X)$, $r_i, s_j \in R_*$, on aquestes igualtats són dins el grup lliure $F(X)$. Com que $w = u v$ també dins el grup lliure, aleshores
\placeformula[-] \startformula \startsplit
\NC w = u v \NC = \bigl( \prod_{i = 1}^N x_i^{-1} r_i x_i \bigr) \cdot \bigl( \prod_{j=1}^M y_j^{-1} s_j y_j \bigr) \NR
\NC \NC = (x_1^{-1} r_1 x_1)\cdots (x_N^{-1} r_N x_N) \cdot (y_1^{-1} s_1 y_1) \cdots (y_M^{-1} s_M y_M) \NR
\NC \NC = \prod_{k=1}^{M+N} z_k^{-1} t_k z_k
\stopsplit \stopformula
on
\startformula
z_k = \startcases
\NC x_k \MC 1 \leq k \leq N \NR
\NC y_{k-N} \MC N+1 \leq k \leq N+M, \NR
\stopcases t_k = \startcases
\NC r_k \MC 1 \leq k \leq N \NR
\NC s_{k-N} \MC N+1 \leq k \leq N+M. \NR
\stopcases
\stopformula
Llavors, per definició, $\text{area}_{\cal P}(w) \leq N+M = \text{area}_{\cal P}(u) + \text{area}_{\cal P}(v)$.
\stopmydemo
\startmylema[thmi:area-conjugats] Siguin $G$ un grup i ${\cal P} = \langle X \mid R \rangle$ una presentació finita de $G$. Si $w \in {(X \cup X^{-1})}^*$ és una paraula nul-homotòpica per ${\cal P}$ i $x \in X \cup X^{-1}$, llavors
\startformula
\text{area}_{\cal P}(x^{-1}wx) \leq \text{area}_{\cal P}(w).
\stopformula
\stopmylema
\startmydemo Suposem que $\text{area}_{\cal P}(w) = N$. Aleshores existeixen $x_i \in F(X)$ i $r_i \in R_*$, amb $i \in \{1, \ldots, N\}$, tals que
\placeformula[-]
\startformula
w = \prod_{i=1}^N x_i^{-1} r_i x_i,
\stopformula
on aquesta igualtat és dins el grup lliure $F(X)$. Aleshores, dins el grup lliure, tenim que
\placeformula[-] \startformula \startsplit
\NC x^{-1} w x \NC = x^{-1} \bigl( \prod_{i = 1}^N x_i^{-1} r_i x_i \bigr) x \NR
\NC \NC = x^{-1} (x_1^{-1} r_1 x_1)\cdots (x_N^{-1} r_N x_N) x \NR
\NC \NC = (x^{-1} x_1^{-1} r_1 x_1 x) (x^{-1} x_2^{-1} r_2 x_2 x)\cdots (x^{-1} x_N^{-1} r_N x_N x) \NR
\NC \NC = \prod_{i=1}^N x^{-1} x_i^{-1} r_i x_i x \NR
\NC \NC = \prod_{i=1}^N (x_i x )^{-1} r_i (x_i x),
\stopsplit \stopformula
per la qual cosa tenim que $\text{area}_{\cal P} (x^{-1}wx) \leq N = \text{area}_{\cal P}(w)$, que és el que volíem veure.
\stopmydemo
\startmylema[thmi:lema-tecnic] Siguin $G$ un grup, $X$ un conjunt finit de generadors de $G$ i ${\cal P} = \langle X \mid R \rangle$ una presentació finita de $G$, $g_i \in G$, amb $i \in \{1, \ldots, 6\}$, i els camins $\gamma_{1, 2}$, $\gamma_{2, 3}$, $\gamma_{3, 4}$, $\gamma_{4, 5}$, $\gamma_{5, 6}$, $\gamma_{6, 1}$ i $\gamma_{2, 5}$ els camins dins el graf de Cayley $\Gamma_{G, X}$ que uneixen, en aquest ordre, els parells de punts $(g_1, g_2)$, $(g_2, g_3)$, $(g_3, g_4)$, $(g_4, g_5)$, $(g_5, g_6)$, $(g_6, g_1)$ i $(g_2, g_5)$, respectivament (tal com es representa a la figura).
\placefigure
[none,here]
[fig:figura-de-6]
{Esquema dels 6 punts}
{\startcombination[1*1]
{ \starttikzpicture[scale=1.2]
% Els punts
\filldraw (0,0) circle (2pt);
\filldraw (2,0) circle (2pt);
\filldraw (4,0) circle (2pt);
\filldraw (4,2) circle (2pt);
\filldraw (2,2) circle (2pt);
\filldraw (0,2) circle (2pt);
% Les línies aleatòries entre punts
\draw [decorate,decoration={random steps,segment length=2mm, amplitude=2pt}] (0,0) -- (2,0);
\draw [decorate,decoration={random steps,segment length=2mm, amplitude=2pt}] (2,0) -- (4,0);
\draw [decorate,decoration={random steps,segment length=2mm, amplitude=2pt}] (4,0) -- (4,2);
\draw [decorate,decoration={random steps,segment length=2mm, amplitude=2pt}] (4,2) -- (2,2);
\draw [decorate,decoration={random steps,segment length=2mm, amplitude=2pt}] (2,2) -- (0,2);
\draw [decorate,decoration={random steps,segment length=2mm, amplitude=2pt}] (0,2) -- (0,0);
\draw [decorate,decoration={random steps,segment length=2mm, amplitude=2pt}] (2,0) -- (2,2);
% el sentit
\draw [decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[blue,line width=.7mm]{>}}}] (0,0) -- (2,0);
\draw [decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[blue,line width=.7mm]{>}}}] (2,0) -- (4,0);
\draw [decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[blue,line width=.7mm]{>}}}] (4,0) -- (4,2);
\draw [decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[blue,line width=.7mm]{>}}}] (4,2) -- (2,2);
\draw [decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[blue,line width=.7mm]{>}}}] (2,2) -- (0,2);
\draw [decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[blue,line width=.7mm]{>}}}] (0,2) -- (0,0);
\draw [decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[blue,line width=.7mm]{>}}}] (2,0) -- (2,2);
% Els noms
\draw (0, -0.3) node {$g_1$};
\draw (2, -0.3) node {$g_2$};
\draw (4, -0.3) node {$g_3$};
\draw (4, 2.3) node {$g_4$};
\draw (2, 2.3) node {$g_5$};
\draw (0, 2.3) node {$g_6$};
% Els noms dels camins
\draw (1, 0) node[above] {$\gamma_{1,2}$};
\draw (3, 0) node[above] {$\gamma_{2,3}$};
\draw (4, 1) node[left] {$\gamma_{3,4}$};
\draw (3, 2) node[below] {$\gamma_{4,5}$};
\draw (1, 2) node[below] {$\gamma_{5,6}$};
\draw (0, 1) node[right] {$\gamma_{6,1}$};
\draw (2, 1) node[right] {$\gamma_{2,5}$};
% \draw[very thin,color=gray] (-5.1,-5.1) grid [step=1] (5.9,5.9);
% \draw[->] (-5.2,0) -- (6.2,0) node[right] {$x$};
% \draw[->] (0,-5.2) -- (0,5.2) node[above] {$y$};
% r = \frac{-1}{3} x + 3
%\filldraw (3,2) circle (2pt);
%\filldraw (-3,4) circle (2pt);
%\draw (-6,5) -- (6,1);
%\draw (1, 3.5) node {$r$};
\stoptikzpicture} { }
\stopcombination}
Per a cadascun d'aquest camins $\gamma_{i, j}$, sigui $w_{i, j}$ la paraula corresponent ($\gamma(w_{i, j}) = \gamma_{i, j}$ per a cada $(i, j) \in \{(1,2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 1), (2,5)\}$). I siguin $u, v$ i $w \in {(X \cup X^{-1})}^*$ les paraules definides com:
\startformula
\startmathalignment
\NC u \NC = w_{6,1}^{-1}w_{5,6}^{-1}w_{2,5}^{-1}w_{1,2}^{-1}, \NR[+]
\NC v \NC = w_{4,5}^{-1} w_{3,4}^{-1} w_{2,3}^{-1} w_{2,5},\NR[+]
\NC w \NC = w_{6,1}^{-1} w_{5,6}^{-1} w_{4,5}^{-1} w_{3,4}^{-1} w_{2,3}^{-1} w_{1,2}^{-1}.\NR[+]
\stopmathalignment
\stopformula
Aleshores $u, v, w$ són nul-homotòpiques per ${\cal P}$ i a més,
\startformula
\text{area}_{\cal P}(w) \leq \text{area}_{\cal P}(u) + \text{area}_{\cal P}(v).
\stopformula
\stopmylema
\startmydemo De forma òbvia tenim que $u$, $v$ i $w$ són nul-homotòpiques per ${\cal P}$, ja el seus camins dins el graf de Cayley formen cicles (per exemple el camí corresponent a $u$ forma un cicle amb punt inicial i punt final $g_1$, perquè és composició de camins de $g_1$ a $g_6$, de $g_6$ a $g_5$, de $g_5$ a $g_2$ i, finalment, de $g_2$ a $g_1$).
D'altra banda, dins el grup lliure $F(X)$ tenim que
\startformula
w = (w_{6,1}^{-1}w_{5,6}^{-1}w_{2,5}^{-1}w_{1,2}^{-1}) w_{1,2} w_{2,5} (w_{4,5}^{-1}w_{3,4}^{-1}w_{2,3}^{-1}w_{2,5})w_{2,5}^{-1}w_{1,2}^{-1} = u w_{1,2}w_{2,5} v (w_{1,2}w_{2,3})^{-1}.
\stopformula
Per tant, dins $F(X)$, $w = u x^{-1} v x$ amb $x \in F(X)$. Llavors, aplicant el lemes~\in[thmi:area-concatenacio] i \in[thmi:area-conjugats], tenim que
\startformula
\text{area}_{\cal P}(w) = \text{area}_{\cal P}(u x^{-1}v x) \leq \text{area}_{\cal P}(u) + \text{area}_{\cal P}(x^{-1} v x) \leq \text{area}_{\cal P}(u) + \text{area}_{\cal P}(v).
\stopformula
\stopmydemo
\startmydefinition Siguin $G$ un grup, $X$ un conjunt finit de generadors de $G$ i ${\cal P} = \langle X \mid R\rangle$ una presentació finita de $G$. Dues paraules $w_1, w_2 \in {(X \cup X^{-1})}^*$ nul-homotòpiques per ${\cal P}$ són {\em congruents}\index{paraules+nul-homotòpiques+congruents} si, i només si, dins el graf de Cayley $\Gamma_{G, X}$ existeixen punts $g_1, g_2, g_3, g_4, g_5, g_6 \in G$ i camins $\gamma_{1,2}, \gamma_{2,3}, \gamma_{3,4}, \gamma_{4,5}, \gamma_{5,6}, \gamma_{6,1}, \gamma_{2,5}$ que uneixen els parells de punts $(g_1, g_2)$, $(g_2, g_3)$, $(g_3, g_4)$, $(g_4, g_5)$, $(g_5, g_6)$, $(g_6, g_1)$ i $(g_2, g_5)$, respectivament, tals que les seves paraules corresponents, que indicarem amb $w_{i, j}$, on $(i, j) \in \{(1,2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 1), (2,5)\}$, satisfan
\startformula
\startmathalignment
\NC w_1 \NC = w_{6,1}^{-1}w_{5,6}^{-1}w_{2,5}^{-1}w_{1,2}^{-1}, \NR[+]
\NC w_2 \NC = w_{4,5}^{-1} w_{3,4}^{-1} w_{2,3}^{-1} w_{2,5}.\NR[+]
\stopmathalignment
\stopformula
En aquest cas, indicarem amb $w_1 \sharp w_2$\mysymbol{$u \sharp v$} a la paraula definida com
\startformula
w_1 \sharp w_2 = w_{6,1}^{-1} w_{5,6}^{-1} w_{4,5}^{-1} w_{3,4}^{-1} w_{2,3}^{-1} w_{1,2}^{-1}.
\stopformula
\stopmydefinition
Del lema previ i d'aquesta definició tenim que si $u$, $v$ són paraules congruents, aleshores $u \sharp v$ és nul-homotòpica per ${\cal P}$ i $\text{area}_{\cal P}(u\sharp v) \leq \text{area}_{\cal P}(u) + \text{area}_{\cal P}(v)$, o sigui, tenim que la funció $\text{area}_{\cal P} \colon \{w \in {(X \cup X^{-1})}^* \mid \text{nul-homotòpica per } {\cal P} \} \to \naturalnumbers$ és subadditiva per a paraules congruents, o sigui, subadditiva per l'operació $\sharp$.
\startmylema[thmi:subadditivitat-area] Siguin $G$ un grup, $X$ un conjunt finit de generadors de $G$, ${\cal P} = \langle X \mid R \rangle$ una presentació finita de $G$, $\sigma \colon G \rightarrow {(X \cup X^{-1})}^*$ una secció geodèsica de $G$ respecte de $X$. Aleshores, per a tota paraula $w \in {(X \cup X^{-1})}^*$ nul-homotòpica per ${\cal P}$, existeixen $u_k$ paraules nul-homotòpiques per ${\cal P}$, amb $k \in \{1, \ldots, {l(w)}^2/2\}$, de longitud $l(u_k) \leq 2\varphi_{\sigma}({l(w)}/2)+2$ tals que
\startformula
\text{area}_{\cal P} (w) \leq \sum_{k=1}^{{{l(w)}^2}/2} \text{area}_{\cal P}(u_k).
\stopformula
\stopmylema
\startmydemo Sigui $w$ una paraula nul-homotòpica per ${\cal P}$. Si $w = \varepsilon$, aleshores el resultat és obvi, ja que $\text{area}_{\cal P} (\varepsilon) = 0$ i la suma de la dreta és zero (el conjunt d'índexos és buit). Per tant, podem suposar que $l(w) \geq 1$. Per tant, $w = x_1 \ldots x_r$, amb $r \geq 1$, $x_i \in X \cup X^{-1}$ i $i \in \{0, \ldots, r\}$.
Per a tot $i \in \{0, \ldots, l(w) -1\}$, considerem la paraula $v_i$ definida per la concatenació següent:
\startformula
v_i = \sigma_{\pi(w(i))} \cdot x_{i+1} \cdot \sigma_{\pi(w(i+1))}^{-1}.
\stopformula
A la Figura~\in[fig:figura-area-u] es mostra el seu corresponent camí $\gamma(v_i)$ dins el graf de Cayley $\Gamma_{G, X}$. Per a cada $i \in \{0, \ldots, l(w) -1\}$, $v_i$ és nul-homotòpica per ${\cal P}$, ja que forma un cicle dins el graf de Cayley ($\gamma(v_i)$ passa per $1$, $\pi(w(i))$ i $\pi(w(i+1))$). I, a més, per construcció
\startformula
w = v_0 \sharp (v_1 \sharp (\ldots, \sharp(v_{l(w) -1 })\ldots ).
\stopformula
Per tant, per aplicació reiterada del Lema~\in[thmi:lema-tecnic],
\placeformula[form:desigualtat-w-vi]
\startformula
\text{area}_{\cal P} (w) \leq \sum_{i=0}^{l(w)-1} \text{area}_{\cal P} (v_i).
\stopformula
\placefigure
[here]
[fig:figura-area-u]
{El camí $\gamma(v_i)$, el qual passa per $1$, $\pi(w(i))$ i $\pi(w(i+1))$.}
{\startcombination[1*1]
{\starttikzpicture[scale=1.1]
% Els punts
\filldraw[color=blue!50] (0,-4) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (0.4216,3.9603) circle (2pt); % primer punt: avaluo ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)}); a t = 0.141
\filldraw[color=blue!50] (-0.4216,3.9603) circle (2pt); % primer punt: avaluo ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)}); a t = -0.141
% Les línies entre els punts
\draw (-0.4216,3.9603) -- (0.4216,3.9603);
\draw plot[domain=-3.141:-0.141,smooth,variable=\t] ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)});
\draw plot[domain=0.141:3.141,smooth,variable=\t] ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)});
\filldraw[color=blue!50] (0,-4) circle (2pt); % perquè me quedi el punt damunt.
% Els combings
% Dibuixo:
% amb y la línia recta que uneix els dos punts, directament
% per x faig un funció del sinus (sin nx + ax = k)
\draw plot[domain=0:0.4216,smooth,variable=\t] ({-0.857727*\t -sin (7.31228*\t r) },{18.8812*\t -4 });
\draw plot[domain=0:0.4216,smooth,variable=\t] ({+0.857727*\t +sin (7.31228*\t r) },{18.8812*\t -4 });
% El sentit del camí entre a i b
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .55 with {\arrow[green,line width=1mm]{>}}}] (0.4216,3.9603) -- (-0.4216,3.9603);
% el sentit d'omega
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .9 with {\arrow[red!50,line width=1mm]{<}}}] plot[domain=-3.141:3.141,smooth,variable=\t] ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)});
% Els punts de les cel·les
% Calcul els combings per a y= 0 i y=1
%\filldraw (-1.181475, 0) circle (2pt);
%\filldraw (1.181475, 0) circle (2pt);
% Els noms
\draw (0, -4.3) node {$1 \in G$};
\draw (2.7, -3) node {$\gamma(w)$};
\draw (-1.18, 0)[left] node {$\sigma_{\pi(w(i+1))}$};
\draw (1.18, 0) node[right] {$\sigma_{\pi(w(i))}$};
\draw (-1,4.3) node {$\pi(w(i+1))$};
\draw (1,4.3) node {$\pi(w(i))$};
\draw (0, 0) node {$\gamma(v_i)$};
% El sentit dels combings
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .4 with {\arrow[green,line width=1mm]{>}}}] plot[domain=0:0.4216,smooth,variable=\t] ({-0.857727*\t -sin (7.31228*\t r) },{18.8812*\t -4 });
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .7 with {\arrow[green,line width=1mm]{>}}}] plot[domain=0:0.4216,smooth,variable=\t] ({+0.857727*\t +sin (7.31228*\t r) },{18.8812*\t -4 });
\stoptikzpicture} { }
\stopcombination}
\indentation Pel Lema~\in[thmi:lema-distancia-menor-w-2],
\placeformula[form:distancia-menor-que-lw-2]
\startformula
d_{G, X} (\pi(w(i)), 1) \leq l(w)/2,
\stopformula
per a tot $i \in \{0, \ldots, l(w)\}$.
Com que $\sigma$ és geodèsica, aleshores la longitud de $\sigma_i$ és menor o igual que $l(w)/2$, per a tot $i \in \{0, \ldots, l(w)\}$. Indiquem amb $x_i^{j)}$ la paraula (de com a màxim una lletra) corresponent al camí geodèsic que va des de $\sigma_i(j)$ a $\sigma_i(j+1)$, amb $i \in \{0, \ldots, l(w)\}$ i $0 \leq j \leq l(w)/2-1$ ($x_i^{j)}$ coincideix amb la lletra $(j+1)$-èssima de $\sigma_i$ quan $j \leq l(\sigma_i)-1$ i amb $\varepsilon$ altrament).
Per a tots $i \in \{0, \ldots, l(w) -1\}$ i $0 \leq j \leq {l(w)}/2$, siguin $\overline{v}_{i, j}$ la paraula corresponent a un camí geodèsic que va des de $\sigma_i (j)$ fins a $\sigma_{i+1} (j)$, i $u_{i, j}$ la paraula nul-homotòpica per ${\cal P}$ formada per la concatenació
\startformula
x_i^{j+1)} \cdot \overline{v}_{i, j+1} \cdot {\left(x_{i+1}^{j+1)}\right)}^{-1} \cdot \overline{v}_{i, j}^{-1},
\stopformula
els camins de les quals es poden observar a la Figura~\in[fig:figura-area-dos]. Per contrucció, per a tot $i \in \{0, \ldots, l(w)-1\}$,
\startformula
v_i = u_{i,0} \sharp (u_{i,1} \sharp (\ldots, \sharp(u_{i, l(w)/2-1})\ldots ),
\stopformula
per la qual cosa, pel Lema~\in[thmi:lema-tecnic],
\placeformula[form:desigualtat-vi-uij]
\startformula
\text{area}_{\cal P} (v_i) \leq \sum_{j=0}^{l(w)/2-1} \text{area}_{\cal P} (u_{i, j}).
\stopformula
\noindentation Aleshores, combinant (\in [form:desigualtat-w-vi]) i (\in[form:desigualtat-vi-uij]), tenim que
\startformula
\text{area}_{\cal P} (w) \leq \sum_{i = 0}^{l(w) -1} \sum_{j = 0}^{l(w)/2 -1} \text{area}_{\cal P} (u_{i,j}).
\stopformula
\placefigure
[here]
[fig:figura-area-dos]
{El camí $\gamma(u_{i, j})$ corresponent a la paraula $u_{i, j}$.}
{\startcombination[1*1]
{\starttikzpicture[scale=1.1]
% Els punts
\filldraw[color=blue!50] (0,-4) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (0.4216,3.9603) circle (2pt); % primer punt: avaluo ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)}); a t = 0.141
\filldraw[color=blue!50] (-0.4216,3.9603) circle (2pt); % primer punt: avaluo ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)}); a t = -0.141
% Les línies entre els punts
\draw (-0.4216,3.9603) -- (0.4216,3.9603);
\draw plot[domain=-3.141:-0.141,smooth,variable=\t] ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)});
\draw plot[domain=0.141:3.141,smooth,variable=\t] ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)});
\filldraw[color=blue!50] (0,-4) circle (2pt); % perquè me quedi el punt damunt.
% Els combings
% Dibuixo:
% amb y la línia recta que uneix els dos punts, directament
% per x faig un funció del sinus (sin nx + ax = k)
\draw plot[domain=0:0.4216,smooth,variable=\t] ({-0.857727*\t -sin (7.31228*\t r) },{18.8812*\t -4 });
\draw plot[domain=0:0.4216,smooth,variable=\t] ({+0.857727*\t +sin (7.31228*\t r) },{18.8812*\t -4 });
% Theta_ij
\draw[decorate,decoration={random steps,segment length=2mm,amplitude=2pt}] (-1.181475, 0) -- (1.181475, 0);
\draw[decorate,decoration={random steps,segment length=2mm,amplitude=2pt}] (1.161048, 1) -- (-1.161048, 1);
% el sentit d'omega
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .9 with {\arrow[red!50,line width=1mm]{<}}}] plot[domain=-3.141:3.141,smooth,variable=\t] ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)});
% el sentit de \theta_ij
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green,line width=1mm]{<}}}] (-1.181475, 0) -- (1.181475, 0);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green,line width=1mm]{>}}}] (1.181475, 0) -- (1.161048, 1);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green,line width=1mm]{>}}}] (1.161048, 1) -- (-1.161048, 1);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green,line width=1mm]{<}}}] (-1.161048, 1) -- (-1.181475, 0);
% Els punts de les cel·les
% Calcul els combings per a y= 0 i y=1
\filldraw[color=blue!50] (-1.181475, 0) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (1.181475, 0) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (1.161048, 1) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (-1.161048, 1) circle (2pt);
% Els noms
\draw (0, -4.3) node {$1 \in G$};
\draw (2.7, -3) node {$\gamma(w)$};
%\draw (-1.18, 0) node[left] {$\sigma_{\pi(w(i+1))}(j)$};
%\draw (1.18, 0) node[right] {$\sigma_{\pi(w(i))}(j)$};
%\draw (-1.18, 1) node[left] {$\sigma_{\pi(w(i+1))}(j+1)$};
%\draw (1.18, 1) node[right] {$\sigma_{\pi(w(i))}(j+1)$};
\draw (0,0.5) node {$\gamma(u_{i,j})$};
\draw (-1,4.3) node {$\pi(w(i+1))$};
\draw (1,4.3) node {$\pi(w(i))$};
\draw (0,1.5) node {$\gamma(v_{i, j+1})$};
\draw (0,-0.5) node {$\gamma(v_{i, j})$};
\draw (1.18, 0.5) node[right] {$\gamma(x_i^{j+1)})$};
\draw (-1.18, 0.5) node[left] {$\gamma(x_{i+1}^{j+1)})$};
\stoptikzpicture} { }
\stopcombination}
\indentation Per a tots $i \in \{0, \ldots, l(w)-1\}$ i $j \in \{0, \ldots, l(w)/2 -1\}$, per definició de $\varphi_{\sigma}$ i per~{(\in[form:distancia-menor-que-lw-2])}, $l(\overline{v}_{i, j}) \leq \varphi_{\sigma}(l(w)/2)$, per la qual cosa $l(u_{i, j}) \leq 2 + 2 \varphi_{\sigma}(l(w)/2)$. Per tant, reindexant aquest sumatori amb la bijecció
\startformula
\{u_{i, j} \mid 0 \leq i \leq l(w) -1, 0 \leq j \leq l(w)/2 -1\} \longleftrightarrow \{u_k \mid 1 \leq k \leq {l(w)}^2/2\},
\stopformula
existeixen com a màxim ${l(w)}^2/2$ paraules nul-homotòpiques per ${\cal P}$, $u_k$, tals que $l(u_k) \leq 2 + 2 \varphi_{\sigma}(l(w)/2)$ i
\startformula
\text{area}_{\cal P}(w) \leq \sum_{k=1}^{{l(w)}^2/2} \text{area}_{\cal P}(u_k).
\stopformula
\stopmydemo
\startmyproposition[thmi:desigualtat-dehn] Siguin $G$ un grup, $X$ un conjunt finit de generadors de $G$, ${\cal P} = \langle X \mid R \rangle$ una presentació finita de $G$ i una secció geodèsica $\sigma \colon G \to {(X \cup X^{-1})}^*$. Aleshores
\startformula
\delta_{{\cal P}} (n) \leq \frac{1}{2} \delta_{{\cal P}} (2 \varphi_{\sigma}(n/2)+2) \cdot n^2.
\stopformula
\stopmyproposition
\startmydemo Sigui $w$ una paraula nul-homotòpica per ${\cal P}$. Pel Lema~\in[thmi:subadditivitat-area], tenim que existeixen $u_k$ paraules nul-homotòpiques per ${\cal P}$, amb $k \in \{1, \ldots, {\lvert w \rvert}/2\}$, de longitud $l(u_k) \leq 2 \varphi_{\sigma}({l(w)}/2) +2$ tals que
\startformula
\text{area}_{\cal P}(w) \leq \sum_{i=1}^{{{l(w)}^2}/2} \text{area}_{\cal P}(u_k).
\stopformula
Com que $l(u_k) \leq 2 \varphi_{\sigma}({l(w)}/2) +2$, aleshores $\text{area}_{\cal P}(u_k) \leq \delta_{{\cal P}}(2 \varphi_{\sigma}({l(w)}/2) +2)$. Per tant,
\placeformula[-] \startformula \startsplit
\NC \text{area}_{\cal P}(w) \NC \leq \sum_{k=1}^{{{l(w)}^2}/2} \text{area}_{\cal P}(u_k) \NR
\NC \NC \leq \sum_{k=1}^{{{l(w)}^2}/2} \delta_{{\cal P}} (2 \varphi_{\sigma}({l(w)}/2) +2) \NR
\NC \NC \leq \frac{1}{2} {l(w)}^2 \cdot \delta_{{\cal P}} (2 \varphi_{\sigma}({l(w)}/2) +2).
\stopsplit \stopformula
\indentation Llavors
\placeformula[-]
\startformula
\startsplit
\NC \delta_{{\cal P}} (n) \NC = \max \{ \text{area}_{\cal P}(w) \mid w \text{ nul-homotòpica per }{\cal P}, l(w) \leq n\}\NR
\NC \NC \leq \max \{ \frac{1}{2} {l(w)}^2 \cdot \delta_{{\cal P}} (2 \varphi_{\sigma}({l(w)}/2) +2) \mid w \text{ nul-homotòpica per } {\cal P}, l(w) \leq n\} \NR
\NC \NC \leq \frac{1}{2} n^2 \cdot \delta_{{\cal P}} (2 \varphi_{\sigma}(n/2) +2).
\stopsplit
\stopformula
\stopmydemo
Aquesta recursió dóna lloc a una fita superior de la funció de Dehn per als grups tals que admetin una secció geodèsica $\sigma$ tal que $\varphi_{\sigma} (n) < n-1$ per a $n$ suficientment gran.
\definemathcases[displaycases][style=\displaystyle]
\startmylema[thmi:equacio-funcional] Sigui $F\colon \naturalnumbers \to \reals $ una funció que cumpleix la recursió
\startformula
F(n) = F(n-2) + 2 \ln n + \ln \frac{1}{2}.
\stopformula
Aleshores
\placeformula[-]
\startformula
F(n) = \startdisplaycases
\NC F(0) + 2 \ln n!! - \frac{n}{2} \ln 2 \MC \text{si } n \text{ parell} \NR
\NC F(1) + 2 \ln n!! - \frac{n+1}{2} \ln 2 \MC \text{si } n \text{ senar} \NR
\stopdisplaycases
\stopformula
on $n!!$ denota el doble factorial, definit recursivament per $0!! = 1$, $1!! = 1$, $n!! = n \cdot (n-2)!!$.
\stopmylema
\startmydemo Com que la recursió $F(n) = F(n-2) + 2 \ln n + \ln \frac{1}{2}$ és d'ordre $2$, per la Teoria d'Equacions en Diferències, la solució d'aquesta recursió és única si es coneixen les condicions inicials $F(1)$ i $F(0)$. Per tant, basta comprovar que si $F$ té aquesta forma, aleshores $F$ compleix la recursió, el que es pot veure amb un simple càlcul.
\stopmydemo
\startmytheorem[thmi:Theorema-n!!-Presentacions] Siguin $G$ un grup, $X$ un conjunt finit de generadors de $G$, ${\cal P} = \langle X \mid R \rangle$ una presentació finita de $G$ i $\sigma \colon G \to {(X \cup X^{-1})}^*$ una secció geodèsica tal que existeix un $n_0 \in \naturalnumbers$ tal que $\varphi_{\sigma}(n) < n-1$ per a tot $n \geq n_0$. Aleshores existeix $C$ constant, que només depèn de $n_0$ (i de ${\cal P}$), tal que
\startformula
\delta_{{\cal P}} (n) \leq C \cdot \frac{(n!!)^2}{2^{n/2}},
\stopformula
per a tot $n \geq n_0$. A més, $C$ satisfà que
\startformula
C \geq \frac{(\delta_{{\cal P}}(n_0)+1)\cdot 2^{\frac{n_0+1}{2}}}{(n_0!!)^2}.
\stopformula
\stopmytheorem
\startmydemo
Per la Proposició~\in[thmi:desigualtat-dehn], tenim que
\startformula
\delta_{{\cal P}} (n) \leq \frac{1}{2} \delta_{{\cal P}} (2 \varphi_{\sigma}(n/2)+2) \cdot n^2.
\stopformula
Com que $\varphi_{\sigma}(n) < n-1$ per a tot $n \geq n_0$, llavors $\varphi_{\sigma}(n) \leq n-2$, ja que la funció $\varphi$ només pren valors naturals. Per això, per a tot $n \geq n_0$, tenim que $2 \varphi_{\sigma}(n/2) +2 = 2 \varphi_{\sigma} (\lfloor n/2 \rfloor) + 2 \leq 2 \lfloor n/2 \rfloor -2 \leq n-2$. Per tant, $\delta_{{\cal P}}$ satisfà la desigualtat
\placeformula[desigualtat-delta-p]
\startformula
\delta_{{\cal P}} (n) \leq \frac{1}{2} \delta_{{\cal P}} (n-2) \cdot n^2,
\stopformula
per a tot $n \geq n_0$.
Sigui $f\colon \naturalnumbers \to \naturalnumbers\setminus \{0\}$ una funció tal que compleix que
\placeformula[desigualtat-f]
\startformula
\startGROUP
\NC f(n) = \frac{1}{2} f(n-2) \cdot n^2, \NR
\NC f(n_0) \geq \delta_{{\cal P}}(n_0) .\NR
\stopGROUP
\stopformula
La desigualtat~(\in[desigualtat-delta-p]) implica que $\delta_{{\cal P}}(n) \leq f(n)$ per a tot $n \geq n_0$. Vegem-ho per inducció sobre $n$:
\startitemize[1]
\item Si $n= n_0$, aleshores $\delta_{{\cal P}}(n_0) \leq f(n_0)$ per construcció de $f$.
\item Suposem-ho cert fins a $n$ i provem-ho per a $n+1$. Aplicant hipòtesi d'inducció i (\in[desigualtat-delta-p]), tenim que
\startformula
f(n+1) = \frac{1}{2} f(n-1) \cdot (n+1)^2 \geq \frac{1}{2} \delta_{{\cal P}} (n-1) \cdot (n+1)^2 \geq \delta_{{\cal P}} (n+1).
\stopformula
\stopitemize
\indentation Considerem la funció $F \colon \naturalnumbers \to \reals$ definida per $F(n) = \ln f(n)$. $F$ està ben definida, ja que $\text{Im } f = \naturalnumbers \setminus \{0\}$. Per~(\in[desigualtat-f]) prenent logaritmes i operant, tenim que $F$ compleix que
\placeformula[-]
\startformula
\startGROUP
\NC F(n) = F(n-2) + 2 \ln n + \ln \frac{1}{2}, \NR
\NC F(n_0) = \ln f(n_0). \NR
\stopGROUP
\stopformula
Pel Lema~\in[thmi:equacio-funcional], $F$ és de la forma
\placeformula[-]
\startformula
F(n) = \startdisplaycases
\NC F(0) + 2 \ln n!! - \frac{n}{2} \ln 2 \MC \text{si } n \text{ parell} \NR
\NC F(1) + 2 \ln n!! - \frac{n+1}{2} \ln 2 \MC \text{si } n \text{ senar} \NR
\stopdisplaycases
\stopformula
Prenent $f(n_0) \geq \delta_{{\cal P}}(n_0) + 1 > 0$, $F(0) = \ln C_1$ i $F(1) = \ln C_2$ amb $C_1$ i $C_2$ constants que només depenen de $n_0$ i de $\delta_{{\cal P}}$ i que satisfan
\startformula
\startmathalignment
\NC C_1 \NC = \frac{f(n_0) \cdot 2^{n_0/2}}{(n_0!!)^2}, \NR[+]
\NC C_2 \NC = \frac{f(n_0) \cdot 2^{\frac{n_0+1}{2}}}{(n_0!!)^2},\NR
\stopmathalignment
\stopformula
aleshores tenim que $F(n_0) = \ln f(n_0)$. Notem que és necessari prendre $f(n_0) > 0$ per assegurar l'existència de $\ln C_1$ i $\ln C_2$ i que sempre podem fer aquesta elecció perquè $f(n_0) \geq \delta_{{\cal P}}(n_0)$. Per tot això, $F$ té la forma
\placeformula[-]
\startformula
F(n) = \startdisplaycases
\NC \ln C_1 + 2 \ln n!! - \frac{n}{2} \ln 2 \MC \text{si } n \text{ parell} \NR
\NC \ln C_2 + 2 \ln n!! - \frac{n+1}{2} \ln 2 \MC \text{si } n \text{ senar} \NR
\stopdisplaycases
\stopformula
\indentation De forma clara, $F(n) \leq \ln C_2 + 2 \ln n!! - \frac{n}{2} \ln 2$, per la qual cosa tenim que
\startformula
\delta_{{\cal P}} (n) \leq f(n) = e^{F(n)} \leq C_2 \cdot \frac{(n!!)^2}{2^{n/2}},
\stopformula
per a tot $n \geq n_0$. Llavors si diem $C= C_2$, tenim el que volíem.
\stopmydemo
Hem de notar que la Proposició~\in[thmi:desigualtat-dehn] també implica fites inferiors sobre $\delta_{\cal P}$: tot grup $G$ admet una secció $\sigma\colon G \to {(X \cup X^{-1})}^*$ tal que $\varphi_{\sigma}(n) \leq n$ per a tot $n \in \naturalnumbers$ (Teorema~\in[thme:bridson-finitament-presentat]). Per tant, per a tota presentació ${\cal P} = \langle X \mid R \rangle$ de $G$ i per a tot $n \in \naturalnumbers$, tenim que
\startformula
\delta_{\cal P} (n) \leq \frac{1}{2} \delta_{\cal P} (n+2) \cdot n^2,
\stopformula
ja que $2 \varphi_{\sigma}(n/2) + 2 \leq 2 (n/2) + 2 = n+2$. Per tant,
\startformula
\delta_{\cal P} (n) \geq \frac{ 2 \delta_{\cal P} (n-2)}{(n-2)^2}.
\stopformula
Aquesta recursió, però, dóna lloc a una fita inferior molt grollera, la qual, tot d'una, es converteix en una fita trivial.
\startmytheorem[thmi:fita-funcio-Dehn] Sigui $G$ un grup finitament generat. Si existeix una secció geodèsica $\sigma$, respecte d'algun conjunt de generadors finit de $G$, tal que $\varphi_{\sigma}(n) < n-1$ per a $n$ suficientment gran, aleshores $G$ és finitament presentat i la funció de Dehn de $G$, $\delta_G$, safisfà que
\startformula
\delta_{G} (n) \preceq \frac{(n!!)^2}{2^{n/2}}.
\stopformula
\stopmytheorem
\startmydemo Pel Teorema~\in[thme:bridson-finitament-presentat], $G$ és finitament presentat. A més, per aquest mateix teorema, si $\sigma$ és una secció respecte d'un conjunt de generadors $X$, aleshores existeix una presentació finita de la forma ${\cal P} = \langle X \mid R \rangle$.
Sigui $n_0$ tal que $\varphi_{\sigma}(n) < n-1$ per a tot $n \geq n_0$. Pel Teorema~\in[thmi:Theorema-n!!-Presentacions] existeix una constant $C_{{\cal P}, n_0}$, que depèn de ${\cal P}$ i de $n_0$, tal que
\placeformula[fita-delta-p]
\startformula
\delta_{{\cal P}} (n) \leq C_{{\cal P},n_0} \cdot \frac{(n!!)^2}{2^{n/2}}.
\stopformula
per a tot $n \geq n_0$. De forma clara, podem prendre $C_{{\cal P}, n_0}$ prou gran per a què aquesta desigualtat es compleixi per a tot $n \in \naturalnumbers$.
Com que $\delta_G$ és la classe d'equivalència de les funcions de Dehn de les presentacions finites de $G$ mòdul $\simeq$, tenim que existeix $C' > 1$ tal que
\startformula
\delta_{G} (n) \preceq C' \frac{(n!!)^2}{2^{n/2}}.
\stopformula
Com que per a qualssevol funcions $f, g \colon \naturalnumbers \to \naturalnumbers$ creixents i $C > 1$ constant, $f \preceq g$ implica que $f \preceq C g$ (ja que $f(x) \leq k g(kx+k) + kx + k \leq k Cg(kx+k) + kx + k$, per alguna constant $k > 0$), aleshores això implica que
\startformula
\delta_{G} (n) \preceq \frac{(n!!)^2}{2^{n/2}}.
\stopformula
\stopmydemo
Pel Teorema~\in[thme:teorema-riley], si $G$ admet una secció geodèsica $\sigma$ tal que $\varphi_{\sigma} (n) < n-1$ per a $n$ suficientment gran, aleshores $\delta_{G} \preceq n!$. Vegem que aquesta fita és més grollera que la que hem obtingut en el resultat anterior.
\startmylema[thmi:lema-funcions-no-preceq] Siguin $f, g \colon \naturalnumbers \to \naturalnumbers$ tals que $g(n) \geq n$, per a tot $n \in \naturalnumbers$ i $f$ i $g$ són creixents. Si $f(n)/g(n) \geq h(x)$ amb $h(x)$ una funció tal que
\startformula
\lim_{x \to \infty} f^2(x)/h(kx) = \infty,
\stopformula
per a tota constant $k > 2$, aleshores $f \not \preceq g$.
\stopmylema
\startmydemo Demostrem-ho per reducció a l'absurd. Si $f \preceq g$, aleshores existeix $k > 0$ tal que
\startformula
f(x) \leq k g(kx + k) + kx + k,
\stopformula
per a tot $x \in \naturalnumbers$. Podem suposar $k > 2$. Com que $g(n) \geq n$, aleshores
\startformula
\startsplit
\NC f(x) \NC \leq k g(kx+k) + kx + k\NR
\NC \NC \leq k g(kx+k) + g(kx+k)\NR
\NC \NC \leq (k+1) g(kx+k)\NR
\NC \NC \leq 2k g(kx+k).
\stopsplit
\stopformula
Per tant, $f(x)/g(kx+k) \leq 2k$, per a tot $x \in \naturalnumbers$. Com que $k > 2$, aleshores $kx + k \leq k^2x$ i, com que $g$ és creixent, aleshores $g(kx+k) \leq g(k^2 x)$. Per tant,
\startformula
f(x)/g(k^2 x) \leq f(x)/g(kx+k) \leq 2k.
\stopformula
Per veure que això és impossible, basta veure que per a tot $k > 2$, el límit del quocient $f(x)/g(kx)$ tendeix a infinit quan $x$ tendeix a infinit. Com que $f(x)/g(x) \geq h(x)$, aleshores $g(x) \leq f(x)/h(x)$. Per tant, com que $f$ és creixent,
\startformula
\frac{f(x)}{g(kx)} \geq \frac{f(x)}{h(kx)/f(kx)} = \frac{f(x) f(kx)}{h(kx)} \geq \frac{f^2(x)}{h(kx)}.
\stopformula
\stopmydemo
\startmyproposition Sigui la funció $F\colon \naturalnumbers \to \naturalnumbers$ definida com
\startformula
F(n) = \frac{{(n!!)}^2}{2^{n/2}}.
\stopformula
Aleshores, per a $n$ suficientment gran, tenim que $F(n) < n!$, ${(n!!)}^2 \not \leq n!$ i $n! < e^{kn^3}$, i, a més, $n! \not \not \preceq F(n)$.
\stopmyproposition
\startmydemo
En primer lloc, vegem que existeix una funció $G \colon \naturalnumbers \to \naturalnumbers$ tal que
\startformula
\frac{F(n)}{n!} = \frac{(n!!)^2}{n! \cdot 2^{n/2}} \leq G(n),
\stopformula
i tal que
\startformula
G(n) \sim C \cdot \frac{n^{5/2}}{2^{n/2}},
\stopformula
per a qualque $C > 0$ constant.
Diferenciem els casos parell i senar. Com que $(2n)!! = 2^n \cdot n!$, llavors, si $n$ és parell, $n!! = 2^{n/2} \cdot (n/2)!$. Si $n$ és parell, usant la fórmula d'Stirling, $n! \sim \sqrt{2 \pi n} \cdot {(n/e)}^n$, tenim que
\placeformula[-] \startformula \startsplit
\NC \frac{(n!!)^2}{n! \cdot 2^{n/2}} \NC \sim \frac{2^n \pi n \cdot {(\frac{n/2}{e})}^n}{\sqrt{2 \pi n} \cdot {(n/e)}^n \cdot 2^{n/2}}\NR
\NC \NC \sim \frac{\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{n}}{\sqrt{2} \cdot 2^{n/2}}.
\stopsplit \stopformula
Si $n$ és senar, aleshores
\startformula
n!! = n \cdot (n-2)!! < n \cdot (n-1)!! = n \cdot 2^{(n-1)/2} \cdot ((n-1)/2)!.
\stopformula
Per tant, operant
\placeformula[-] \startformula \startsplit
\NC \frac{(n!!)^2}{n! \cdot 2^{n/2}} \NC \leq \frac{n^2 \cdot 2^{n-1} \cdot {((\frac{n-1}{2})!)}^2}{n! \cdot 2^{n/2}}\NR
\NC \NC \sim \frac{\pi n^2 \cdot 2^{n/2 -1} \cdot n \cdot {(n/e)}^n \cdot 2^{1-n}}{\sqrt{2 \pi} \cdot \sqrt{n} \cdot {(n/e)}^n} \NR
\NC \NC \sim \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{n^{5/2}}{2^{n/2}}.
\stopsplit \stopformula
\indentation En tots dos casos, existeix una constant $C > 0$ tal que $F(n)/n! \leq G(n)$ on
\startformula
G(n) \sim C \cdot \frac{n^{5/2}}{2^{n/2}}.
\stopformula
Arran d'això tenim que el quocient $F(n)/n!$ tendeix a zero quan $n$ tendeix a infinit. Per tant, $F(n) < n!$ per a $n$ suficientment gran.
Vegem que $n! \not \preceq F(n)$. Per l'anterior, $n!/F(n) \geq 1/G(n) \sim C \cdot 2^{n/2} \cdot n^{-5/2}$. Pel Lema~\in[thmi:lema-funcions-no-preceq], basta veure que, per a tot $k > 2$,
\startformula
\lim_{x \to \infty} n!/(C \cdot 2^{n/2} \cdot n^{-5/2})= \infty
\stopformula
Per la fórmula de Stirling, tenim que
\startformula
\frac{(n!)^2}{C \cdot 2^{kn/2} \cdot (kn)^{-5/2}} \sim \frac{2 \pi n \cdot (n/e)^{2n} \cdot (kn)^{5/2}}{C \cdot 2^{kn/2}} \geq \frac{2\pi n \cdot (kn)^{5/2}}{C} \cdot \left( \frac{n}{2^k e} \right)^{2n},
\stopformula
que clarament tendeix a infinit quan $x$ tendeix a infinit.
D'altra banda, $n$ suficientment gran, ${(n!!)}^2 \not \leq n!$, ja que, usant $n!! = 2^{n/2} \cdot (n/2)!$ per a $n$ parell i la fórmula de Stirling, tenim que
\placeformula[-] \startformula \startsplit
\NC \frac{n!}{{(n!!)}^2} \NC \sim \frac{\sqrt{2 \pi n} \cdot {(n/e)}^n}{2^n \cdot \pi n \cdot {(\frac{n/2}{e})}^n}\NR
\NC \NC \sim \frac{\sqrt{2 \pi n}}{\pi n} \NR
\NC \NC \sim \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi} \cdot n}.
\stopsplit \stopformula
Per tant, tenim una successió de nombres naturals $(n_i)_{i \in \naturalnumbers}$ (tots els nombres parells) tal que
\startformula
\frac{n_i!}{{(n_i!!)}^2}
\stopformula
tendeix a zero quan $n_i$ tendeix a infinit. Per això, $(n!!)^2 \not \leq n!$ per a $n$ suficientment gran, ja que, en cas contrari, tendríem que $n!/{(n!!)^2} \geq 1$.
Per últim, vegem que $n! < e^{kn^3}$, per a tota constant $k > 0$ i per a $n$ prou gran. Usant la fórmula de Stirling i operant, tenim que
\startformula
\ln n! \sim \ln \bigl(\sqrt{2 \pi n} (n/e)^n\bigr) = \frac{1}{2} \ln (2\pi) + \frac{1}{2} \ln n + n \ln n - n < kn^3,
\stopformula
del que es dedueix la desigualtat de forma directa.
\stopmydemo
\subsection{Anàlisi del cas asincrònic}
Al contrari del cas en què un grup $G$ admet una secció $\sigma$ tal que la seva amplada sincrònica $\varphi_{\sigma} (n) < n-1$, per a $n$ suficientment gran, amb les tècniques que coneixem, no podem millorar, en general, la fita $\delta_G \preceq n!$ quan $\Phi_{\sigma} (n) < n-1$, per a $n$ suficientment gran\footnote{Per demostrar que aquesta fita superior és òptima, s'hauria de trobar un exemple d'un grup $G$ tals que $\delta_G \simeq n!$ i $\Phi_{\sigma} (n) < n-1$, per a $n$ suficientment gran, per qualque secció $\sigma$ de $G$.}. Aquest fet es posa de manifest si intentem obtenir resultats anàlegs als obtinguts pel cas asincrònic:
\startmylema[thmi:lema-cas-asincronic-geodesica] Siguin $G$ un grup, $X$ un conjunt finit de generadors de $G$, ${\cal P} = \langle X \mid R \rangle$ una presentació finita de $G$, $\sigma \colon G \rightarrow {(X \cup X^{-1})}^*$ una secció geodèsica de $G$ respecte de $X$. Aleshores, per a tota paraula $w \in {(X \cup X^{-1})}^*$ nul-homotòpica per ${\cal P}$, existeixen $u'_k$ paraules nul-homotòpiques per ${\cal P}$, amb $k \in \{1, \ldots, {l(w)}^2 + l(w)\}$, de longitud $l(u'_k) \leq 2\Phi({l(w)}/2)+2$ tals que
\startformula
\text{area}_{\cal P} (w) \leq \sum_{k=1}^{{l(w)}^2 + l(w)} \text{area}_{\cal P}(u'_k).
\stopformula
\stopmylema
\startmydemo
La demostració és anàloga al cas sincrònic. Sigui $w$ una paraula nul-homotòpica per ${\cal P}$. Si $w = \varepsilon$, aleshores el resultat és obvi. Si $w = x_1 \ldots x_r$, amb $r \geq 1$, $x_i \in X \cup X^{-1}$ i $i \in \{0, \ldots, r\}$. En aquest cas, per a tot $i \in \{0, \ldots, l(w) -1\}$, considerem la paraula $v_i$ definida per la concatenació següent:
\startformula
v_i = \sigma_{\pi(w(i))} \cdot x_{i+1} \cdot \sigma_{\pi(w(i+1))}^{-1}.
\stopformula
Per a cada $i \in \{0, \ldots, l(w) -1\}$, $v_i$ és nul-homotòpica per ${\cal P}$, ja que forma un cicle dins el graf de Cayley. I, a més, per construcció
\startformula
w = v_0 \sharp (v_1 \sharp (\ldots, \sharp(v_{l(w) -1 })\ldots ).
\stopformula
Per tant, pel Lema~\in[thmi:lema-tecnic],
\placeformula[form:desigualtat-w-vi-bis]
\startformula
\text{area}_{\cal P} (w) \leq \sum_{i=0}^{l(w)-1} \text{area}_{\cal P} (v_i).
\stopformula
\indentation Per a tot $i \in \{0, \ldots, l(w)-1\}$, siguin $\rho_i$, $\rho'_i$ reparametritzacions de $\naturalnumbers$ per a $\pi(w(i))$ i $\pi(w(i+1))$. Pel Lema~\in[thmi:lema-distancia-menor-w-2],
\placeformula[form:distancia-menor-que-lw-2-bis]
\startformula
d_{G, X} (\pi(w(i)), 1) \leq l(w)/2,
\stopformula
per a tot $i \in \{0, \ldots, l(w)\}$.
Com que $\sigma$ és geodèsica, aleshores, per a tot $i \in \{0, \ldots, l(w)\}$, la longitud de $\sigma_i$ és menor o igual que $l(w)/2$ i els conjunts
\startformula \startalign
\NC \{ \sigma_i (\rho_i (t)) \mid t \in \naturalnumbers \}, \NR
\NC \{ \sigma_i (\rho'_i (t)) \mid t \in \naturalnumbers \} \NR
\stopalign \stopformula
tenen, com a màxim, $l(w)/2$ elements diferents.
Per a tots $i \in \{0, \ldots, l(w)\}$ i $t \in \naturalnumbers$, siguin
\startitemize[1]
\item $x_i^{t)}$ la paraula (de com a màxim una lletra) corresponent al camí geodèsic que va des de $\sigma_i(\rho_i(t))$ a $\sigma_i(\rho_i(t+1))$.
\item $\overline{v}_{i, t}$ la paraula corresponent a un camí geodèsic que vagi des de $\sigma_i (\rho_i(t))$ fins a $\sigma_{i+1} (\rho'_i (t))$.
\item $u_{i, t}$ la paraula nul-homotòpica per ${\cal P}$ formada per la concatenació
\startformula
x_i^{t+1)} \cdot \overline{v}_{i, t+1} \cdot {\left(x_{i+1}^{t+1)}\right)}^{-1} \cdot \overline{v}_{i, t}^{-1},
\stopformula
\stopitemize
\noindentation Com a màxim hi ha $l(\sigma_i) + l(\sigma_{i+1}) \leq 2 l(w)/2 = l(w)$ paraules $u_{i, t}$, ja que quan
\startformula \startcases
\NC \sigma_i(\rho_i(m)) \MC = \sigma_i(\rho_i(m+1)), \NR
\NC \sigma_i(\rho'_i(m)) \MC = \sigma_i(\rho'_i(m+1)), \NR
\stopcases
\stopformula
per a algun $m \in \integers$, aleshores $u_{i, m} = u_{i, m+1}$. Per tant, per a tot $i \in \{0, \ldots, l(w)-1\}$, existeixen $t_1, \ldots, t_{l(w)}$ tals que,
\startformula
v_i = u_{i,t_1} \sharp (u_{i,t_2} \sharp (\ldots, \sharp(u_{i, t_{l(w)}})\ldots ),
\stopformula
per la qual cosa, pel Lema~\in[thmi:lema-tecnic],
\placeformula[form:desigualtat-vi-uij-bis]
\startformula
\text{area}_{\cal P} (v_i) \leq \sum_{j=0}^{l(w)} \text{area}_{\cal P} (u_{i, t_j}).
\stopformula
\indentation Aleshores, combinant (\in [form:desigualtat-w-vi-bis]) i (\in[form:desigualtat-vi-uij-bis]), tenim que
\startformula
\text{area}_{\cal P} (w) \leq \sum_{i = 0}^{l(w) -1} \sum_{j = 0}^{l(w)} \text{area}_{\cal P} (u_{i,t_j}).
\stopformula
\indentation Per a tot $i \in \{0, \ldots, l(w)-1\}$ i $t \in \naturalnumbers$, per definició de $\Phi$ i per~{(\in[form:distancia-menor-que-lw-2-bis])}, $l(\overline{v}_{i, t}) \leq \Phi(l(w)/2)$, per la qual cosa $l(u_{i, t}) \leq 2 + 2 \varphi(l(w)/2)$. Per tant, reindexant el sumatori, tenim que existeixen com a màxim $l(w)(l(w)+1)$ paraules nul-homotòpiques per ${\cal P}$, $u'_k$, tals que $l(u'_k) \leq 2 + 2 \Phi(l(w)/2)$ i
\startformula
\text{area}_{\cal P} (w) \leq \sum_{k=1}^{{l(w)}^2+l(w)} \text{area}_{\cal P}(u'_k).
\stopformula
\stopmydemo
Amb una anàlisi de la demostració es pot veure que la fita superior del sumatori no es pot millorar (llevat de substraccions de constants) sense hipòtesis suplementàries.
\startmyproposition[thmi:recursio-delta-p] Siguin $G$ un grup, $X$ un conjunt finit de generadors de $G$, ${\cal P} = \langle X \mid R \rangle$ una presentació finita de $G$ i $\sigma \colon G \to {(X \cup X^{-1})}^*$ una secció geodèsica tal que existeix un $n_0 \in \naturalnumbers$ tal que $\Phi_{\sigma} (n) < n-1$ per a tot $n \geq n_0$. Aleshores existeix una constant $C \geq 1$, $C \in \naturalnumbers$, tal que
\startformula
\delta_{\cal P} (n) \leq C \cdot (n+1)!,
\stopformula
per a tot $n \in \naturalnumbers$.
\stopmyproposition
\startmydemo Com que $\Phi_{\sigma} (n) < n-1$ per a tot $n \geq n_0$ i $\Phi_{\sigma}$ pren valors enters, aleshores $\Phi_{\sigma} (n) \leq n-2$ per a tot $n \geq n_0$.
Pel Lema~\in[thmi:lema-cas-asincronic-geodesica], tenim que $\delta_{\cal P}$ segueix la recursió
\startformula
\delta_{\cal P} (n) \leq (n^2 + n) \cdot \delta_{\cal P} (n-2),
\stopformula
per a tot $n \geq n_0$.
Sigui $f \colon \naturalnumbers \to \naturalnumbers\setminus\{0\}$ definida per la recursió
\startformula
\startGROUP
\NC f(n) = (n^2 + n) \cdot f(n-2), \NR
\NC f(n_0) \geq \delta_{{\cal P}}(n_0) .\NR
\stopGROUP
\stopformula
Aleshores tenim que $\delta_{\cal P}(n) \leq f(n)$ per a tot $n \geq n_0$.
Considerem la funció $F \colon \naturalnumbers \to \reals$ definida per $F(n) = \ln f(n)$. Tenim que $F(n)$ satisfà la recursió
\startformula
\startGROUP
\NC F(n) = \ln n + \ln (n+1) + F(n-2), \NR
\NC F(n_0) = \ln f(n_0).\NR
\stopGROUP
\stopformula
Es pot veure que $F$ és de la forma
\startformula
F(n) = \startdisplaycases
\NC F(0) +\ln (n+1)! \MC \text{si } n \text{ parell} \NR
\NC F(1) + \ln (n+1)! \MC \text{si } n \text{ senar} \NR
\stopdisplaycases
\stopformula
Per tant, prenent $K = \max \{F(0), F(1)\}$, tenim que $F(n) \leq K + \ln (n+1)!$, i, per tant,
\startformula
\delta_{\cal P} (n) \leq f(n) \leq e^{F(n)} \leq e^K \cdot (n+1)!,
\stopformula
per a tot $n \geq n_0$. Ara bé, podem prendre $C \geq e^K$, $C \in \naturalnumbers$, prou gran tal que $\delta_{\cal P} (n) \leq C \cdot (n+1)!$ per a tot $n \in \naturalnumbers$.
\stopmydemo
\startmylema[thmi:lema-preceq-necessari] Siguin $f, g \colon \naturalnumbers \to \naturalnumbers$ i $C \geq 1$, $C \in \naturalnumbers$, una constant.
\startitemize[a][left=(,right=),stopper=]
\item Si $g$ és creixent i $f \preceq Cg$, aleshores $f \preceq g$.
\item $(n+1)! \simeq n!$.
\stopitemize
\stopmylema
\startmydemo
\startitemize[a][left=(,right=),stopper=]
\item Si $f \preceq C g$, aleshores existeix $k > 0$ tal que $f(x) \leq k C g(kx + k) + kx + k$. Com que $g$ és creixent i $C \geq 1$,
\placeformula[-] \startformula \startsplit
\NC f(x) \NC \leq k C g(kx + k) + kx + k\NR
\NC \NC \leq k C g(kC x + kC) + kC x + kC \NR
\NC \NC \leq (k C) g((kC) x + (kC)) + (kC) x + (kC).
\stopsplit \stopformula
Per tant, $f \preceq g$.
\item De forma obvia, tenim que $(n+1)! \leq k (kn + k)! + kn + k$ prenent $k =1$. Per tant, $(n+1)! \preceq n!$. D'altra banda, com que $n! \leq (n+1)!$, tenim que $n! \preceq (n+1)!$. Per tant, $n! \simeq (n+1)!$.
\stopitemize
\stopmydemo
\startmyproposition Sigui $G$ un grup finitament generat. Si existeix una secció geodèsica $\sigma$, respecte d'algun conjunt de generadors finit de $G$, tal que $\Phi (n) < n-1$ per a $n$ suficientment gran, aleshores $G$ és finitament presentat i la funció de Dehn de $G$, $\delta_G$, satisfà que $\delta_G (n) \preceq (n+1)! \simeq n!$.
\stopmyproposition
\startmydemo
Pel Teorema~\in[thme:bridson-finitament-presentat], $G$ és finitament presentat. Si $\sigma$ és una secció respecte d'un conjunt de generadors $X$, sigui ${\cal P} = \langle X \mid R \rangle$ una presentació finita de $G$ (tota presentació finita ${\cal P}' = \langle Y \mid S\rangle$ en tendrà una d'equivalent d'aquesta forma).
Sigui $n_0$ tal que $\Phi_{\sigma}(n) < n-1$ per a tot $n \geq n_0$. Per la Proposició~\in[thmi:recursio-delta-p] existeix una constant $C \geq 1$ tal que
\startformula
\delta_{{\cal P}} (n) \leq C \cdot (n+1)!.
\stopformula
per a tot $n \in \naturalnumbers$.
Com que $\delta_G$ és la classe d'equivalència de les funcions de Dehn de les presentacions finites de $G$ mòdul $\simeq$, tenim que existeix $C' \geq 1$ tal que
\startformula
\delta_{G} (n) \preceq C' \cdot (n+1)!.
\stopformula
Ara bé, pel Lema~\in[thmi:lema-preceq-necessari],
\startformula
\delta_{G} (n) \preceq (n+1)! \simeq n!.
\stopformula
\stopmydemo
Aquesta proposició realment confirma que, amb les tècniques emprades en el cas sincrònic, no podem millorar la fita de la funció de Dehn per a grups que admeten una secció $\sigma$ tal que $\Phi_{\sigma} (n) < n-1$ per a $n$ suficientment gran.
\section{L'amplada mitjana respecte de dos valors}
En aquesta secció definirem l'amplada mitjana d'una secció $\sigma$ respecte de dos valors, $\lambda_{\sigma, s, k}$, i veurem que si un grup $G$ admet una secció tal que la seva amplada mitjana no és {\em molt gran}, aleshores $G$ és finitament presentat i té el problema de la paraula resoluble.
\startmynotation Siguin $G$ un grup, $X$ un conjunt finit de generadors de $G$ i $n \in \naturalnumbers$. Indicarem amb $K_{G, X} (n)$\mysymbol{$K_{G, X}(n)$} el conjunt
\startformula
K_{G, X} (n) = \{ (g, h) \in G \times G \mid d_{G, X} (1, g), d_{G, X} (1, h) \leq n, \; d_{G, X} (g, h) =1 \}.
\stopformula
Quan $G$ i $X$ siguin clars pel context, els podrem ometre i escriure, simplement, $K(n)$\mysymbol{$K(n)$}.
\stopmynotation
\startmynotation Siguin $G$ un grup, $X$ un conjunt finit de generadors de $G$, $\sigma \colon G \to {(X \cup X^{-1})}^*$ una secció, $g, h \in G$ i $t \in \naturalnumbers$. Indicarem amb $D_{\sigma, g, h} (t)$\mysymbol{$D_{\sigma, g, h} (t)$} el nombre
\startformula
D_{\sigma, g, h} (t) = d_{G, X} (\sigma_g (t), \sigma_h (t)).
\stopformula
\stopmynotation
\startmydefinition Siguin $G$ un grup, $X$ un conjunt finit de generadors de $G$, $\sigma \colon G \to {(X \cup X^{-1})}^*$ una secció, $s, k \in \naturalnumbers$. La {\em $(s, k)$-amplada mitjana de \sigma}\index[(s,k)-amplada mitjana+d'una secció]{$(s, k)$-amplada mitjana+d'una secció}, o {\em amplada mitjana de $\sigma$ respecte de $s$ i $k$}\index{amplada+mitjana respecte de dos valors}, és la funció $\lambda_{\sigma, s, k} \colon \naturalnumbers \to \naturalnumbers$ definida per $\lambda_{\sigma, s, k} (0) = 0$ i, per a tot $n > 0$,
\startformula
\lambda_{\sigma, s, k} (n) = \max \{( D_{\sigma, g, h} (t+s) + D_{\sigma, g, h} (t+k) )/2 \mid t \in \naturalnumbers, (g, h) \in K_{G, X} (n) \}.
\stopformula
Escriurem simplement $\lambda_{s, k} (n)$\mysymbol{$\lambda_{\sigma, s, k}$} quan $\sigma$ sigui clara pel context o quan no existeixi confusió possible.
\stopmydefinition
Estemdrem aquesta funció als nombres reals mitjançant $\lambda_{\sigma, s, k} (x) = \lambda_{\sigma, s, k} (\lfloor x \rfloor)$ si $x > 0$ i $\lambda_{\sigma, s, k} (x) = \lambda_{\sigma, s, k} (0)$ si $x < 0$.
Per simetria, tenim que $\lambda_{\sigma, s, k} = \lambda_{\sigma, k, s}$, per a tots $s, k \in \naturalnumbers$. Per tant, a partir d'ara, suposarem que $s \leq k$.
\startmylema[thmi:minoracio-lambda-phi] Siguin $G$ un grup, $X$ un conjunt finit de generadors de $G$ i $\sigma \colon G \to {(X \cup X^{-1})}^*$. Aleshores $\lambda_{\sigma, s, k} (n) \leq \varphi_{\sigma} (n)$, per a tots $s \leq k \in \naturalnumbers$.
\stopmylema
\startmydemo Per a tot $s \in \naturalnumbers$, indiquem amb
\startformula
M_s(n) = \max \{d_{G, X}(\sigma_g (t+s), \sigma_h (t+s)) \mid t \in \naturalnumbers, (g, h) \in K_{G, X} (n) \}.
\stopformula
De forma clara tenim que, per a tot $n \in \naturalnumbers$, $M_s(n) \leq \varphi_{\sigma}(n)$ i $2\lambda_{\sigma, s, k} (n) \leq M_s (n) + M_k (n)$. Per tant, $\lambda_{\sigma, s, k} (n) \leq \varphi_{\sigma} (n)$.
\stopmydemo
\startmycorollary Siguin $s \leq k \in \naturalnumbers$. Tot grup finitament generat admet una secció $\sigma$, respecte d'algun conjunt finit de generadors, tal que $L_{\sigma}(n) = n$ i $\lambda_{\sigma, s, k}(n) \leq n$, per a tot $n \in \naturalnumbers$.
\stopmycorollary
\startmydemo Pel Teorema~\in[thme:bridson-finitament-presentat], tot grup finitament generat admet una secció $\sigma$, respecte d'algun conjunt finit de generadors, tal que $L_{\sigma} (n) = n$ i $\varphi_{\sigma} (n) \leq n$, per a tot $n \in \naturalnumbers$. Aplicant el lema anterior, tenim que $\lambda_{\sigma, s, k} (n) \leq n$, per a tot $n \in \naturalnumbers$.
\stopmydemo
Volem veure que si un grup finitament generat $G$ admet una secció $\sigma$ tal que, per a qualques $s \leq k \in \naturalnumbers$, $\lambda_{\sigma, s, k} (n) < n-1$, per a $n$ suficientment gran, aleshores $G$ és finitament presentat i $G$ té el problema de la paraula resoluble. En comptes de demostrar aquest fet per a tots $s, k$, ho demostrarem només per a $s = 0$ i $k=1$, reduint els altres casos a aquest.
\subsection{Reducció de $\lambda_{s, k}$ a $\lambda_{0, 1}$}
\startmylema[thmi:reduccio-lambdask-a-lambda-0k] Siguin $G$ un grup, $X$ un conjunt finit de generadors de $G$, $\sigma \colon G \to {(X \cup X^{-1})}$ una secció, $0 < s \leq k \in \naturalnumbers$ i $f \colon \naturalnumbers \to \naturalnumbers$ una funció qualsevol. Aleshores:
\startitemize[a][left=(,right=),stopper=]
\item Si $\lambda_{\sigma, 0, k-s} (n) < f(n)$ per a $n$ suficientment gran, aleshores $\lambda_{\sigma, s, k} (n) < f(n)$ per a $n$ suficientment gran.
\item Si $f$ és estrictament creixent, aleshores si $\lambda_{\sigma, s, k} (n) < f(n)$ per a $n$ suficientment gran, llavors $\lambda_{\sigma, 0, k-s} (n) < f(n)$ per a $n$ suficientment gran.
\stopitemize
\stopmylema
\startmydemo
\startitemize[a][left=(,right=),stopper=]
\item Fent el canvi de variable $t' = t+s$, tenim que
\placeformula[-] \startformula \startsplit
\NC 2 \lambda_{\sigma, s, k} (n) \NC = \max \{D_{\sigma, g, h} (t+s) + D_{\sigma, g, h} (t+k) \mid t \in \naturalnumbers, (g, h) \in K_{G, X} (n) \}\NR
\NC \NC = \max \{D_{\sigma, g, h} (t') + D_{\sigma, g, h} (t'+k-s) \mid t' \geq s, (g, h) \in K_{G, X} (n)\} \NR
\NC \NC \leq 2 \lambda_{\sigma, 0, k-s} (n),
\stopsplit \stopformula
per a tot $n \in \naturalnumbers$,
Per tant, $\lambda_{\sigma, s, k} (n) \leq \lambda_{\sigma, 0, k-s} (n)$ per a tot $n \in \naturalnumbers$. Per tant, per hipòtesi, $\lambda_{\sigma, s, k} (n) < f(n)$ per a $n$ suficientment gran.
\item Per a tot $n \in \naturalnumbers$, indiquem amb $N_{s, k} (n)$ el màxim
\startformula
\max \{D_{\sigma, g, h} (t) + D_{\sigma, g, h} (t+k-s) \mid t = 0, \ldots, s-1, (g, h) \in K_{G, X} (n) \}.
\stopformula
Tenim que
\startformula \startsplit
\NC 2 \lambda_{\sigma, 0, k-s} (n) \NC = \max \{D_{\sigma, g, h} (t) + D_{\sigma, g, h} (t+k-s) \mid t \in \naturalnumbers, (g, h) \in K_{G, X} (n) \} \NR
\NC \NC = \max \big\{\max \{D_{\sigma, g, h} (t) + D_{\sigma, g, h} (t+k-s) \mid t \geq s, (g, h) \in K_{G, X} (n) \}, \NR
\NC \NC \quad \qquad \quad N_{s, k} (n) \big\} \NR
\NC \NC = \max \{ 2 \lambda_{\sigma, s, k} (n), N_{s, k} (n) \}
\stopsplit \stopformula
(el darrer pas s'aconsegueix fent el canvi de variable $t' = t-s$; vegeu l'apartat anterior).
$N_{s, k} (n)$ satisfà que
\startformula \startsplit
\NC N_{s, k} (n) \NC \leq \max \{D_{\sigma, g, h} (t) \mid t=0, \ldots, s-1, (g, h) \in K_{G, X} (n) \} \NR
\NC \NC \quad + \max \{D_{\sigma, g, h} (t+s) \mid t=0, \ldots, s-1, (g, h) \in K_{G, X} (n) \}\NR
\NC \NC \leq 2 \max \{D_{\sigma, g, h} (t) \mid t=0, \ldots, s-1, (g, h) \in K_{G, X} (n) \}, \NR
\NC \NC \leq 2 \max \{d_{G, X} (g, h) \mid (g, h) \in B_{G, X} (1, s-1)\}.
\stopsplit \stopformula
La darrera desigualtat és perquè la distància entre $\sigma_g(t)$ i $\sigma_h(t)$ és menor que la màxima distància entre dos elements de la bolla $B_{G, X} (1, s-1)$, ja que $\sigma_g(t)$ i $\sigma_h(t)$ pertanyen a aquesta bolla, per a qualssevol $g, h \in K_{G, X} (n)$. Per tant, com que $f$ és estrictament creixent, existeix $n_1 \in \naturalnumbers$, independent de $n$ ($n_1$ només depèn de $s$), tal que $f(n_1) > N_{s, k} (n)$, per a tot $n \in \naturalnumbers$.
D'altra banda, sigui $n_0 \in \naturalnumbers$ tal que $\lambda_{\sigma, s, k} (n) < f(n)$ per a tot $n \geq n_0$, el qual existeix per hipòtesi, i sigui $N = \max \{n_0, n_1\}$. Aleshores, per a tot $n \geq N$,
\startformula \startsplit
\NC 2 \lambda_{\sigma, 0, k-s} (n) \NC = \max \{2 \lambda_{\sigma, s, k} (n), N_{s, k} (n)\} \NR
\NC \NC \leq \max \{f(n_1), 2 \lambda_{\sigma, s, k} (n) \} \NR
\NC \NC \leq \max \{f(N), 2f(n) \} \NR
\NC \NC \leq 2 f(n).
\stopsplit \stopformula
Per tant, $\lambda_{\sigma, 0, k-s} (n) < f(n)$ per a $n$ suficientment gran.
\stopitemize
\stopmydemo
\startmylema[thmi:reduccio-lambda-0k-a-lambda-01] Siguin $G$ un grup, $X$ un conjunt finit de generadors de $G$, $\sigma \colon G \to {(X \cup X^{-1})}^*$ una secció i $k > 1$. Si $\lambda_{\sigma, 0, k} (n) < n-k$ per a $n$ suficientment gran, aleshores $\lambda_{\sigma,0,1} (n) < n-1$ per a $n$ suficientment gran.
\stopmylema
\startmydemo Sigui $n_0 \in \naturalnumbers$ tal que $\lambda_{\sigma, 0, k} (n) < n-k$ per a tot $n \geq n_0$.
Per a tots $n \in \naturalnumbers$, $g, h \in K_{G, X} (n)$ i $t \in \naturalnumbers$, aplicant la desigualtat triangular, tenim que
\startformula
\startsplit
\NC d_{G, X} (\sigma_g (t+1), \sigma_h (t+1)) \NC \leq d_{G, X} (\sigma_g (t+1), \sigma_g (t+k))\NR
\NC \NC \quad + d_{G, X} (\sigma_g (t+k), \sigma_h (t+k))\NR
\NC \NC \quad + d_{G, X} (\sigma_h (t+k), \sigma_h (t+1))\NR
\NC \NC \leq 2 (k-1) + d_{G, X} (\sigma_g (t+k), \sigma_h (t+k)).
\stopsplit
\stopformula
Per tant, per a tot $n \geq n_0$,
\startformula
\startsplit
\NC 2 \lambda_{\sigma, 0, 1} (n) \NC = \max \{D_{\sigma, g, h} (t) + D_{\sigma, g, h} (t+1) \mid t \in \naturalnumbers, (g, h) \in K_{G, X} (n)\}\NR
\NC \NC \leq \max \{D_{\sigma, g, h} (t) + 2(k-1) + D_{\sigma, g, h} (t+k) \mid t \in \naturalnumbers, (g, h) \in K_{G, X} (n)\}\NR
\NC \NC \leq \max \{D_{\sigma, g, h} (t) + D_{\sigma, g, h} (t+k) \mid t \in \naturalnumbers, (g, h) \in K_{G, X} (n)\}+ 2 (k-1)\NR
\NC \NC \leq 2\lambda_{\sigma, 0, k} (n) + 2(k-1) \NR
\NC \NC < 2 (n-k) + 2(k-1) \NR
\NC \NC = 2 (n-1).
\stopsplit
\stopformula
Aleshores $\lambda_{\sigma, 0, 1} (n) < n-1$ per a tot $n \geq n_0$.
\stopmydemo
\startmynotation Sigui $f \colon \naturalnumbers \to \naturalnumbers$ una funció qualsevol i $s \leq k \in \naturalnumbers$. Indicarem amb:
\startitemize[a][left=(,right=),stopper=]
\item ${\cal S}(\varphi, f)$ la classe dels grups finitament generats $G$ tal que existeix una secció $\sigma$ de $G$ respecte d'un conjunt finit de generadors de $G$ tal que $\varphi_{\sigma} (n) < f(n)$ per a $n$ suficientment gran.
\item ${\cal S} (\lambda_{s, k}, f)$ la classe dels grups finitament generats $G$ tal que existeix una secció $\sigma$ de $G$ respecte d'un conjunt finit de generadors de $G$ tal que $\lambda_{\sigma, s, k} (n) < f(n)$ per a $n$ suficientment gran.
\stopitemize
\stopmynotation
Amb aquesta notació, tenim que la classe dels grups sincrònicament seccionables coincideix amb la unió de les classes ${\cal S}(\varphi, f(n) \equiv k)$ amb $k \in \naturalnumbers$ constant, i que els teoremes~\in[thme:bridson-fita-sincronica] i \in[thme:bridson-finitament-presentat] estableixen que si $G \in {\cal S}(\varphi, f(n) = n-1)$, aleshores $G$ és finitament presentat i $\delta_{G} \preceq e^{kn^3}$ per alguna constant $k > 0$.
\startmyproposition[thmi:proposicio-reduccio-lambdes] Per a tot $r \geq 1$, sigui $f_r \colon \naturalnumbers \to \naturalnumbers$ la funció definida per $f_r (n) = n-r$. Aleshores:
\startformula
\startgather
{\cal S}(\varphi, f_1) \subseteq {\cal S} (\lambda_{0, 1}, f_1),\NR
\bigcup_{0 \leq s \leq k} {\cal S} (\lambda_{s, k}, f_{k-s}) = \bigcup_{0 \leq k} {\cal S} (\lambda_{0, k}, f_k) \subseteq {\cal S} (\lambda_{0, 1}, f_1). \NR
\stopgather
\stopformula
\stopmyproposition
\startmydemo Pel Lema~\in[thmi:minoracio-lambda-phi], $\lambda_{\sigma, 0, 1} \leq \varphi_{\sigma}$. Per tant, clarament, ${\cal S} (\varphi, f_1) \subseteq {\cal S} (\lambda_{0, 1}, f_1)$.
D'altra banda, pel Lema~\in[thmi:reduccio-lambdask-a-lambda-0k], per a tots $0 < s \leq k$, ${\cal S} (\lambda_{s, k}, f_{k-s}) = {\cal S} (\lambda_{0, k-s}, f_{k-s})$. Aquest fet també es compleix per a $s = 0$ i $0 \leq k$ de forma trivial. Per tant,
\startformula
\bigcup_{0 \leq s \leq k} {\cal S} (\lambda_{s, k}, f_{k-s}) = \bigcup_{0 \leq k} {\cal S} (\lambda_{0, k}, f_k)
\stopformula
\indentation Finalment, pel Lema~\in[thmi:reduccio-lambda-0k-a-lambda-01], ${\cal S} (\lambda_{0, k}, f_k) \subseteq {\cal S} (\lambda_{0,1}, f_1)$.
\stopmydemo
Arran d'aquesta proposició tenim que la classe dels grups que admeten una secció tal que, per a qualques $s \leq k$, $\lambda_{s, k} (n) < n-1$ per a $n$ suficientment gran és, exactament, la classe dels grups que admeten una secció tal que $\lambda_{0,k'} (n) < n-1$ per a $n$ suficientment gran, per algun $k'\geq 0$. Per tant, a partir d'ara, podrem ocupar-nos, només, d'aquesta darrera classe de grups.
\subsection{Els grups de ${\cal S}(\lambda_{0,1}, f(n)=n-1)$ són finitament presentats}
\startmylema[thmi:lema-dels-conjugats-de-conjugats]Siguin $A$ un conjunt qualsevol, $X, Y \subseteq F(A)$. Si $w$ es pot expressar com producte de conjugats de paraules de $X$ i cada $x \in X$ es pot expressar com producte de conjugats de $Y$, aleshores $w$ es pot expressar com producte de conjugats de $Y$.
\stopmylema
\startmydemo Per hipòtesi, tenim que
\startformula
\startmathalignment
\NC w \NC = \prod_{i=1}^N u_i^{-1} x_i u_i, \NR
\NC x_i \NC = \prod_{i=1}^{N_i} v_{ij}^{-1} y_{ij} v_{ij}, \NR
\stopmathalignment
\stopformula
on $u_i, v_{ij} \in F(A)$, $x_i \in X$, $y_{ij} \in Y$. Llavors
\startformula
w = \prod_{i=1}^N u_i^{-1} x_i u_i = \prod_{i=1}^N u_i^{-1} \Big(\prod_{i=1}^{N_i} v_{ij}^{-1} y_{ij} v_{ij}\Big) u_i = \prod_{i,j} (v_{ij} u_i)^{-1} y_{ij} (v_{ij} u_i).
\stopformula
Per tant, $w$ es pot expressar com a producte de conjugats de $Y$.
\stopmydemo
\startmytheorem[thmi:lambda-0-1-finitament-presentat] Qualsevol grup $G \in {\cal S}(\lambda_{0,1}, f(n)=n-1)$ és finitament presentat. Més concretament, si $X$ és un conjunt finit de generadors de $G$, $n_0 \in \naturalnumbers$ i $\sigma \colon G \to {(X \cup X^{-1})}^*$ una secció tal que $\lambda_{0,1} (n) < n-1$ per a $n \geq n_0$, aleshores existeix una presentació finita ${\cal P}$ de $G$ de la forma $\langle X \mid R\rangle$, amb
\startformula
R = \{w = 1 \mid w \in {(X \cup X^{-1})}^*, \pi(w) = 1, l(w) \leq 2n_0, \},
\stopformula
amb $\pi {(X \cup X^{-1})}^* \to G$ el morfisme exhaustiu definit anteriorment.
\stopmytheorem
\startmydemo Com que $G \in {\cal S}(\lambda_{0,1}, f(n)=n-1)$, aleshores existeixen $X$ un conjunt finit de generadors de $G$ i $\sigma \colon G \to {(X \cup X^{-1})}^*$ una secció tal que $\lambda_{0,1} (n) < n-1$ per a $n$ suficientment gran. Sigui $n_0 \in \naturalnumbers$ tal que $\lambda_{0,1} (n) < n-1$ per a tot $n \geq n_0$.
Com que $X$ és un conjunt finit de generadors, tenim el morfisme exhaustiu $\pi \colon {(X \cup X^{-1})}^* \to G$. Siguin el conjunt de relacions
\startformula
R = \{w = 1 \mid w \in {(X \cup X^{-1})}^*, \pi(w) = 1, l(w) \leq 2n_0, \},
\stopformula
el qual és simètric per ser $\pi$ un morfisme, i la presentació finita ${\cal P} = \langle X \mid R \rangle$.
Volem veure que ${\cal P}$ és una presentació (finita) de $G$. A l'igual que en la demostració de la Proposició~\in[thmi:proposicio-fites-funcions-Dehn-asincronics-longitud], hem de veure que tota paraula $w \in {(X \cup X^{-1})}^*$ tal que $\pi(w) = 1$ és nul-homotòpica per ${\cal P}$. Geomètricament, aquest fet és equivalent a provar l'existència d'un diagrama de van Kampen ${\cal D}_w$ per a $w$ respecte de ${\cal P}$. Ho veurem per inducció sobre $l(w)$.
\startitemize[1]
\item Si $l(w) \leq 2n_0$, aleshores podem prendre el diagrama de van Kampen que té frontera $w$ i una sola cara. Aquest diagrama existeix perquè, en aquest cas, $w$ és una paraula de $R$.
\item Suposem-ho cert fins a $l(w) = n$ i provem-ho per a $l(w)= n+1$. Siguin
\startformula
m = \max \{l(\sigma_{\pi(w(i))}) \mid i= 0, \ldots, l(w)\} \leq L_{\sigma} (l(w)/2)
\stopformula
i $I = \{0, \ldots, l(w)\} \times \{0, \ldots, m \}$.
Considerem $\Lambda$ el CW-complex planar de dimensió $2$ format per $m+1$ segments horitzontals i $l(w)+1$ segments verticals el qual divideix el rectangle de llargària $l(w)$ i altura $m$ en rectangles d'àrea unitat i que té $I$ com a conjunt de vèrtexos. Transformem $\Lambda$ en un CW-complex planar i dirigit $\tilde{\Lambda}$ de dimensió $2$ amb els vèrtexos i els arcs etiquetats mitjançant els passos següents (el qual està representat, esquemàticament, a la Figura~\in[fig:diagrama-van-Kampen-per-a-lambda-0-1]):
\startitemize[1]
\item L'assignació de l'etiqueta $\sigma_{\pi(w(i))}(j)$ al vèrtex $(i, j) \in I$. En particular, $(i, m)$ té $\pi(w(i))$ com a etiqueta (els vèrtexos $(i, j)$ amb $j < m$ poden tenir, també, aquesta etiqueta).
\item Per a tot vèrtex $(i, j)$ amb $i \not \in \{0, l(w)\}$, l'etiquetatge de l'aresta que va des de $(i, j)$ a $ (i,j+1)$ amb la lletra $(j+1)$-èssima de la paraula $\sigma_{\pi(w(i))}$, i l'assignació del sentit d'aquesta aresta cap a $(i,j+1)$. És a dir, les etiquetes de les arestes del segment vertical $i$-èssim, llegides d'abaix a dalt, formen la paraula $\sigma_{\pi(w(i))}$. D'altra banda, etiquetarem totes les arestes dels segments $0$-èssim i $l(w)$-èssim amb la paraula $\varepsilon$ i els dirigirem cap a dalt.
\item Per a cada $(i, j), (i+1, j) \in I$ amb $j \neq 0$, considerem la paraula $w_{i, j} \in {(X \cup X^{-1})}^*$ tal que $\gamma(w_{i, j})$ és un camí geodèsic de $\sigma_{\pi(w(i))}(j)$ a $\sigma_{\pi(w(i+1))}(j)$ dins el graf de Cayley $\Gamma_{G, X}$. A més, dividim l'aresta que va de $(i, j)$ a $(i+1, j)$ dins $\Lambda$ en $l(w_{i, j})$ segments dirigits, els quals determinaran $l(w_{i,j})+1$ punts. Dos d'aquests punts seran $\sigma_{\pi(w(i))}(j)$ i $\sigma_{\pi(w(i+1))}(j)$ (els extrems). Etiquetarem cadascun d'aquests punts, successivament des de $(i, j)$ fins a $(i+1,j)$, amb les lletres de $w_{i, j}$ i dirigirem tots els segments cap a $(i+1, j)$. En particular, d'aquesta manera, les etiquetes dels arcs del segment horitzontal $m$-èssim de $\tilde{\Lambda}$, llegides de de $(0,m)$ fins a $(l(w), m)$ formen la paraula $w$.
Quan $j = 0$, prendrem $w_{i, j} = \varepsilon$ en sentit cap a $(i, j)$. Així etiquetarem l'aresta que va des de $(i, j)$ a $(i, j+1)$ amb $\varepsilon$ i sentit de $(i, j+1)$ cap a $(i,j)$.
\stopitemize
\placefigure
[here]
[fig:diagrama-van-Kampen-per-a-lambda-0-1]
{El diagrama $\tilde{\Lambda}$ contruït a partir de $\Lambda$ i $\sigma$.}
{\startcombination[1*1]
{ \starttikzpicture[scale=1]
% punts
\filldraw[color=blue!50] (0,13) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (1,13) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (4,13) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (5,13) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (8,13) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (9,13) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (0,12) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (1,12) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (8,12) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (9,12) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (0,11) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (1,11) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (8,11) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (9,11) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (0,6) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (0,7) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (4,6) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (4,7) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (5,6) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (5,7) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (8,6) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (8,7) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (9,6) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (9,7) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (0,2) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (1,2) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (8,2) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (9,2) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (0,1) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (1,1) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (8,1) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (9,1) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (0,0) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (1,0) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (4,0) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (5,0) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (8,0) circle (2pt);
\filldraw[color=blue!50] (9,0) circle (2pt);
% Noms
\draw (0, 11.5) node[left] {$\varepsilon$};
\draw (0, 6.5) node[left] {$\varepsilon$};
\draw (0, 1.5) node[left] {$\varepsilon$};
\draw (0, 0.5) node[left] {$\varepsilon$};
\draw (9, 0.5) node[right] {$\varepsilon$};
\draw (9, 1.5) node[right] {$\varepsilon$};
\draw (9, 6.5) node[right] {$\varepsilon$};
\draw (9, 11.5) node[right] {$\varepsilon$};
\draw (0.5, 0) node[below] {$\varepsilon$};
\draw (4.5, 0) node[below] {$\varepsilon$};
\draw (8.5, 0) node[below] {$\varepsilon$};
\draw (0, 13) node[above] {$\pi(w(l(w)))=1$};
\draw (3.5, 13) node[above] {$\pi(w(i+1))$};
\draw (5.5, 13) node[above] {$\pi(w(i))$};
\draw (9, 13) node[above] {$\pi(w(0))=1$};
\draw (4, 4) node[left] {$\sigma_{\pi(w(i+1))}$};
\draw (5, 4) node[right] {$\sigma_{\pi(w(i))}$};
%\draw (5, 5.7) node[right] {$\sigma_{\pi(w(i))}(j)$};
%\draw (5, 7.3) node[right] {$\sigma_{\pi(w(i))}(j+1)$};
%\draw (4, 5.7) node[left] {$\sigma_{\pi(w(i+1))}(j)$};
%\draw (4, 7.3) node[left] {$\sigma_{\pi(w(i+1))}(j+1)$};
\draw (4.5, 6) node[below] {$w_{i,j}$};
\draw (4.5, 7) node[above] {$w_{i,j+1}$};
\draw (2.5, 10) node {$\vdots$};
\draw (2.5, 3) node {$\vdots$};
\draw (6.5, 10) node {$\vdots$};
\draw (6.5, 3) node {$\vdots$};
% Línies
\draw (0,0) -- (1,0) -- (2,0) -- (3,0) -- (4,0) -- (5,0) -- (6,0) -- (7,0) -- (8, 0) -- (9, 0);
\draw (0,13) -- (1,13) -- (2,13) -- (3,13) -- (4,13) -- (5,13) -- (6,13) -- (7,13) -- (8, 13) -- (9, 13);
\foreach \x in {0,1,...,12}
{\draw (0, \x) -- (0,\x+1);}
\foreach \x in {0,1,...,12}
{\draw (9, \x) -- (9,\x+1);}
\foreach \x in {1,2,11,12}
{\draw (0,\x) -- (1,\x);
\draw (1,\x) -- (8,\x);
%\draw (7,\x) -- (8,\x);
\draw (8,\x) -- (9,\x);}
\foreach \x in {6,7}
{\draw (0,\x) -- (1,\x);
\draw (1,\x) -- (3,\x);
\draw (3,\x) -- (4,\x) -- (5,\x) -- (6,\x);
\draw (6,\x) -- (8,\x);
\draw (8,\x) -- (9,\x);}
\foreach \y in {0,1,...,12}
{\draw (1,\y) -- (1,\y+1);}
\foreach \y in {0,1,...,12}
{\draw (4,\y) -- (4,\y+1);}
\foreach \y in {0,1,...,12}
{\draw (5,\y) -- (5,\y+1);}
\foreach \y in {0,1,...,12}
{\draw (8,\y) -- (8,\y+1);}
% Sentit
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (1,0) -- (4,0);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (5,0) -- (8,0);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (9,2) -- (9,6);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (9,7) -- (9,11);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (0,2) -- (0,6);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (0,7) -- (0,11);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (4,2) -- (4,6);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (4,7) -- (4,11);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (5,2) -- (5,6);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (5,7) -- (5,11);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (4,13) -- (1,13);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (8,13) -- (5,13);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (5,6) -- (4,6);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (5,7) -- (4,7);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (4,1) -- (1,1);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (8,1) -- (5,1);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (4,2) -- (1,2);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (8,2) -- (5,2);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (4,11) -- (1,11);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (8,11) -- (5,11);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (4,12) -- (1,12);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (8,12) -- (5,12);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (4,6) -- (1,6);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (8,6) -- (5,6);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (4,7) -- (1,7);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (8,7) -- (5,7);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (1,2) -- (1,6);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (1,7) -- (1,11);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (8,2) -- (8,6);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[green!50,line width=1mm]{>}}}] (8,7) -- (8,11);
\draw[loosely dashed] (6,14.3)-- (3,14.3);
\draw[loosely dashed] (6,-1.3)-- (3,-1.3);
\draw[loosely dashed] (-1.3,5)-- (-1.3,8);
\draw[loosely dashed] (10.3,5)-- (10.3,8);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .45 with {\arrow[red!50,line width=0.6mm]{angle 60}}}] (6,14.3) -- (3,14.3);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .55 with {\arrow[red!50,line width=0.6mm]{angle 60}}}] (6,14.3) -- (3,14.3);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .45 with {\arrow[red!50,line width=0.6mm]{angle 60}}}] (3,-1.3)-- (6,-1.3);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .55 with {\arrow[red!50,line width=0.6mm]{angle 60}}}] (3,-1.3)-- (6,-1.3);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .45 with {\arrow[red!50,line width=0.6mm]{angle 60}}}] (-1.3,5)-- (-1.3,8);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .55 with {\arrow[red!50,line width=0.6mm]{angle 60}}}] (-1.3,5)-- (-1.3,8);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .45 with {\arrow[red!50,line width=0.6mm]{angle 60}}}] (10.3,5)-- (10.3,8);
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .55 with {\arrow[red!50,line width=0.6mm]{angle 60}}}] (10.3,5)-- (10.3,8);
\draw (4.5, 14.6) node {$w$};
\draw (4.5, -1.6) node {$\varepsilon$};
\draw (-1.6, 6.5) node {$\varepsilon$};
\draw (10.6, 6.5) node {$\varepsilon$};
\stoptikzpicture} { }
\stopcombination}
\indentation Per a cada cara de $\tilde{\Lambda}$ determinada pels vèrtexos $(i, j)$, $(i,j+1)$, $(i+1,j+1)$ i $(i+1,j) \in I$, sigui $u_{i, j}$ la paraula formada llegint les etiquetes de la seva frontera des de $(i,j)$ en el sentit contrari a les agulles del rellotge. Pel Lema~\in[thmi:lema-distancia-menor-w-2] i perquè els camins corresponents a $w_{i,j}$ i $w_{i,j+1}$ són geodèsics,
\startformula
l(w_{i,j}) + l(w_{i,j+1}) \leq 2 \lambda_{0, 1} (l(w)/2),
\stopformula
per a tots $(i, j), (i, j+1) \in I$. Per tant, com que $\lambda_{0, 1} (n) < n-1$ per a tot $n \geq n_0$,
\startformula
l(u_{i, j}) \leq 2+2 \lambda_{0, 1} (l(w)/2) < l(w).
\stopformula
\noindentation D'altra banda, $\pi(u_{i, j}) = 1$ (ja que, per construcció, forma un cicle dins el graf de Cayley $\Gamma_{G, X}$). Per tant, $\tilde{\Lambda}$ és un diagrama de van Kampen per a $w$ respecte de ${\cal Q} = \langle X \mid S\rangle$ amb $S$ el conjunt de relacions
\startformula
S = \{ u = 1 \mid u \in {(X \cup X^{-1})}^*, \pi(u) = 1, l(u) < l(w)\}.
\stopformula
\noindentation Per tant, pels lemes~\in[thmi:lema-de-van-Kampen] i \in[thmi:w-nul-homotopica-producte-conjugats], $w$ es pot posar com a producte de conjugats de $u_{i, j}$ i les seves inverses. Com que $l(u_{i, j}) < l(w)$, per hipòtesi d'inducció, tenim que existeix un diagrama de van Kampen $D_{i, j}$ de frontera $u_{i, j}$ respecte de ${\cal P}$. Per tant, cada $u_{i, j}$ es pot posar com a producte de conjugats de paraules de $R$ (els conjugats de les inverses de paraules de $R$ també són paraules de $R$, ja que $R$ és simètric). Combinant aquests dos fets, pel Lema~\in[thmi:lema-dels-conjugats-de-conjugats], $w$ es pot posar com a producte de conjugats de paraules de $R$, per la qual cosa existeix un diagrama de van Kampen $D_w$ per a $w$ sobre ${\cal P}$.
\stopitemize
\stopmydemo
\startmycorollary Siguin $s \leq k \in \naturalnumbers$ i un grup $G$. Si $G \in {\cal S} (\lambda_{s, k}, f(n) = n-(k-s))$, aleshores $G$ és finitament presentat.
\stopmycorollary
\startmydemo És conseqüència directa de la Proposició~\in[thmi:proposicio-reduccio-lambdes] i del Teorema~\in[thmi:lambda-0-1-finitament-presentat].
\stopmydemo
\subsection{L'ordre de la funció de Dehn dels grups de ${\cal S}(\lambda_{0,1}, f(n)=n-1)$}
\startmylema[thmi:lema-tecnic-nombre-de-subdiagrames-lambda-01] Siguin $G$ un grup, $X$ un conjunt finit de generadors de $G$ tal que $X = X^{-1}$, ${\cal P} = \langle X \mid R\rangle$ una presentació finita de $G$ fixada i $\sigma \colon G \to X^*$ una secció. Per a qualsevol paraula $w \in X^*$ nul-homotòpica per ${\cal P}$, existeix un diagrama de van Kampen ${\cal D}_w$ per a $w$ respecte de ${\cal P}$ el qual es pot expressar com la unió de com a màxim
\startformula
l(w) \cdot ({\lvert X \rvert}^{l(w) \lambda_{0,1} (l(w)/2)} +1)
\stopformula
subdiagrames 1-connectats, cadascun dels quals té perímetre com a màxim
\startformula
2 \lambda_{0,1} (l(w)/2) +2.
\stopformula
\stopmylema
\startmydemo Sigui $w$ una paraula nul-homotòpica per ${\cal P}$. Considerem $\tilde{\Lambda}$ el diagrama planar dirigit i etiquetat construït a partir de $w$ i $\sigma$ com en el Teorema~\in[thmi:lambda-0-1-finitament-presentat] (Figura~\in[fig:diagrama-van-Kampen-per-a-lambda-0-1]). Cada segment de $\tilde{\Lambda}$ té associada una paraula sobre $X$, la qual correspon a llegir les seves etiquetes de forma consecutiva a partir d'un dels seus extrems. Si indiquem amb $h(j), v(i)$ les paraules associades al segment horitzontal $j$-èssim i al segment vertical $i$-èssim, respectivament (amb la convenció que comencem a comptar des dels segments inferior i dret), aleshores $h(0) = v(0) = v(l(w)) = \varepsilon$ i $v(i) = \sigma_{\pi(w(i))}$, per a tot $i \in \{1, \ldots, l(w)-1\}$. D'altra banda, per a qualsevol $j \neq 0$, $h(j)$ està formada per la concatenació de $l(w)$ paraules, $w_{i, j}$, corresponents a camins geodèsics entre $(i, j)$ i $(i+1,j)$. Aquestes paraules són tals que
\startformula
l(w_{i, j}) + l(w_{i, j+1}) \leq 2 \lambda_{0, 1} (l(w)/2),
\stopformula
per a qualsevol $i \in \{0, \ldots, l(w)\}$. Per tant,
\startformula
l(h(j)) + l(h(j+1)) \leq 2 l(w) \cdot \lambda_{0, 1} (l(w)/2).
\stopformula
Això vol dir que, parell a parell, la suma de les longituds de les paraules associades als segments horitzontals és menor o igual que $2 l(w) \cdot \lambda_{0, 1} (l(w)/2)$. Això implica que una de les paraules té longitud menor que $l(w) \cdot \lambda_{0, 1} (l(w)/2)$: si $l(h(j)) \leq l(w) \cdot \lambda_{0, 1} (l(w)/2)$, aleshores ho tenim. Si $l(h(j)) > l(w) \cdot \lambda_{0, 1} (l(w)/2)$, aleshores
\startformula
\startsplit
\NC l(h(j+1)) \NC \leq 2l(w) \cdot \lambda_{0, 1} (l(w)/2) - l(w) \cdot \lambda_{0, 1} (l(w)/2)\NR
\NC \NC \leq l(w) \cdot \lambda_{0, 1} (l(w)/2).
\stopsplit
\stopformula
Per tant, com a màxim hi pot haver ${\lvert X \rvert}^{l(w) \cdot \lambda_{0, 1} (l(w)/2)}$ parells amb les dues paraules diferents. Per tant, com a màxim hi ha $1+{\lvert X \rvert}^{l(w) \cdot \lambda_{0, 1} (l(w)/2)}$ paraules diferents corresponents a segments horitzontals (Figura~\in[fig:raonament-parells-maxim-paraules]).
\placefigure
[here]
[fig:raonament-parells-maxim-paraules]
{Esquema dels parells associats als segments horitzontals de $\tilde{\Lambda}$.}
{\startcombination[1*1]
{ \starttikzpicture[scale=1]
% punts
\foreach \x in {0,1,2,3,4,7,8,9}
{\draw (\x,0) -- (\x,0.5);}
\draw (0, 0.5) node[above] {$h(0)$};
\draw (1, 0.5) node[above] {$h(1)$};
\draw (2, 0.5) node[above] {$h(2)$};
\draw (3, 0.5) node[above] {$\ldots$};
\draw (5.5, 0) node {$\ldots$};
\draw (0.5, 0) node[below] {$\underbrace{\; }_{
\startsubstack
\text{parell} \NR
\text{núm. 0}\NR
\stopsubstack}$};
\draw (1.5, 0) node[below] {$\underbrace{\; }_{
\startsubstack
\text{parell} \NR
\text{núm. 1}\NR
\stopsubstack}$};
\draw (2.5, 0) node[below] {$\underbrace{\; }_{
\startsubstack
\text{parell} \NR
\text{núm. 2}\NR
\stopsubstack}$};
\draw (3.5, 0) node[below] {$\underbrace{\; }_{\;}$};
\draw (7.5, 0) node[below] {$\underbrace{\; }_{\;}$};
\draw (8.5, 0) node[below] {$\underbrace{\; }_{\;}$};
\draw (3.5, -1) node[above] {$\ldots$};
% Noms
%\draw (1.5, 1.2) node {$x$};
%\draw (0.7, 1.4) node {$y$};
%\draw (0.7, 3) node {$1$};
\stoptikzpicture} { }
\stopcombination}
En el cas en què dues paraules corresponents a segments horitzontals diferents siguin iguals, podem eliminar la part de $\tilde{\Lambda}$ que està entre elles. D'aquesta manera, podem construir un diagrama $\Delta$ que té $l(w)+1$ línies verticals (les mateixes que $\tilde{\Lambda}$) i com a màxim $1+{\lvert X \rvert}^{l(w) \cdot \lambda_{0, 1} (l(w)/2)}$ línies horitzontals\footnote{Aquestes tècniques de {\em cirugia} es poden trobar a diverses referències \cite[bridson, epstein].}.
Com que $\tilde{\Lambda}$ és un diagrama de van Kampen per a $w$ amb les paraules de la frontera de les seves cares formant paraules de longitud menor que $l(w)$, aleshores, per inducció, existeix un diagram de van Kampen respecte de ${\cal P}$ per a la paraula corresponent a cada cara de $\tilde{\Lambda}$. Per tant, podem encastar aquests diagrames a les cares de $\tilde{\Lambda}$. Com que $\Delta$ és un subdiagrama de $\tilde{\Lambda}$, llavors també podem encastar aquests diagrames a $\Delta$. Per tant, $\Delta$ és un diagrama de van Kampen per a $w$ respecte de ${\cal P}$ format per, com a màxim,
\startformula
l(w) \cdot ({\lvert X \rvert}^{l(w) \cdot \lambda_{0, 1} (l(w)/2)} +1 )
\stopformula
subdiagrames 1-connectats (els diagrames de van Kampen de les cares de $\Delta$) de perímetre com a màxim $2 \lambda_{0,1} (l(w)/2) +2$.
\stopmydemo
\startmytheorem[thmi:funcio-isoperimetrica-lambda01] Sigui $G$ un grup, $X$ un conjunt finit de generadors de $G$ tal que $X = X^{-1}$, $\sigma \colon G \to X^*$ una secció tal que $\lambda_{0,1} (n) < n-1$ per a $n$ suficientment gran, i $F \colon \naturalnumbers \to \naturalnumbers$ tal que $F(n) \geq 1$, per a tot $n \geq 1$. Si
\startformula
F(n) \geq n ({\lvert X \rvert}^{n \lambda_{0, 1} (n/2)}+1 ) F\big(2 \lambda_{0, 1} (n/2) + 2 \big),
\stopformula
per a $n$ suficientment gran, aleshores $F$ és una funció isoperimètrica per a qualque presentació finita de $G$.
\stopmytheorem
\startmydemo Sigui $n_1 \in \naturalnumbers$ tal que, per a tot $n \geq n_1$,
\startformula
F(n) \geq n ({\lvert X \rvert}^{n \lambda_{0, 1} (n/2)}+1 ) F\big(2 \lambda_{0, 1} (n/2) + 2 \big)
\stopformula
i $\lambda_{0,1} (n) < n-1$. Pel Teorema~\in[thmi:lambda-0-1-finitament-presentat], ${\cal P} = \langle X \mid R\rangle$ amb
\startformula
R = \{w = 1 \mid w \in {(X \cup X^{-1})}^*, \pi(w) = 1, l(w) \leq 2n_1, \}
\stopformula
és una presentació finita de $G$. Vegem que $F$ és una funció isoperimètrica per a ${\cal P}$, és a dir, que, per a tota paraula $w \in {(X \cup X^{-1})}^*$ nul-homotòpica per ${\cal P}$ tal que $l(w) \leq n$, tenim que $\text{area}_{\cal P} (w) \leq F(n)$. Demostrem-ho per inducció sobre $l(w)$:
\startitemize[1]
\item Si $w$ és una paraula nul-homotòpica per ${\cal P}$ tal que $l(w) \leq 2n_1$, aleshores existeix un diagrama de van Kampen per a $w$ amb una única cara, ja que $w$ és una paraula de $R$. Per tant, $\text{area}_{\cal P} (w) = 1$, que és menor o igual que $F(2n_1)$ per hipòtesi.
\item Suposem que $w$ és una paraula nul-homotòpica per ${\cal P}$ tal que $l(w) = n > 2n_1$ i que qualsevol paraula nul-homotòpica per ${\cal P}$ de longitud $r < n$ és frontera d'un diagrama de van Kampen respecte de ${\cal P}$ que té com a màxim $F(r)$ cares. Aleshores, pel Lema~\in[thmi:lema-tecnic-nombre-de-subdiagrames-lambda-01], existeix un diagrama de van Kampen per a $w$ respecte de ${\cal P}$ el qual té com a màxim
\startformula
n ({\lvert X \rvert}^{n \lambda_{0, 1} (n/2)}+1 ) F\big(2 \lambda_{0, 1} (n/2) + 2 \big)
\stopformula
cares. Per tant, aplicant la hipòtesi sobre $F$, tenim que aquest nombre és menor o igual que $F(n)$.
\stopitemize
\stopmydemo
\startmytheorem[thmi:funcio-Dehn-lambda-0-1] Sigui $G$ un grup. Si $G \in {\cal S} (\lambda_{0,1},f(n) = n-1)$, aleshores existeix $k > 0$ tal que
\startformula
\delta_G(n) \preceq e^{kn^3}.
\stopformula
\stopmytheorem
\startmydemo Com que $G \in {\cal S} (\lambda_{0,1},f(n) = n-1)$, aleshores existeixen $X$ un conjunt finit de generadors de $G$ tal que $X = X^{-1}$ i $\sigma \colon G \to X^*$ tal que $\lambda_{0,1} (n) < n-1$ per a $n$ suficientment gran.
Vegem que existeix $k > 0$ tal que la funció $n \mapsto e^{kn^3}$ és isoperimètrica per a qualque presentació de $G$. Pel Teorema~\in[thmi:funcio-isoperimetrica-lambda01], basta veure que existeix $k > 0$ tal que, per a $n$ suficientment gran,
\startformula
kn^3 \geq \ln n + \ln ({\lvert X \rvert}^{n \lambda_{0, 1} (n/2)}+1 ) + k (2 \lambda_{0, 1} (n/2) + 2)^3.
\stopformula
Ara bé, per a $n$ suficientment gran, tenim que
\startformula
\startsplit
\NC \ln n \NC + \ln ({\lvert X \rvert}^{n \lambda_{0, 1} (n/2)}+1 ) + k (2 \lambda_{0, 1} (n/2) + 2)^3 \NR
\NC \NC \leq \ln n + \ln (2{\lvert X \rvert}^{n \lambda_{0, 1} (n/2)}) + k (2 \lambda_{0, 1} (n/2) + 2)^3 \NR
\NC \NC \leq \ln n + \ln 2 + n \lambda_{0, 1} (n/2)\ln \lvert X \rvert + k (2 \lambda_{0, 1} (n/2) + 2)^3\NR
\NC \NC \leq \ln n + \ln 2 + n (n/2-2)\ln \lvert X \rvert + k (n-2)^3\NR
\NC \NC \leq kn^3 + n^2 (\frac{1}{2} \ln \lvert X \rvert - 6k) + o(n^2).
\stopsplit
\stopformula
Per tant, prenent $k > \frac{1}{12} \ln \lvert X \rvert$, tenim que això és menor o igual que $kn^3$ per a $n$ suficientment gran.
Aleshores $n \mapsto e^{kn^3}$ és una funció isoperimètrica per a qualque presentació. Per tant, la funció de Dehn d'aquesta presentació és menor o igual que $e^{kn^3}$. Per tant, la funció de Dehn de $G$ és $\preceq e^{kn^3}$.
\stopmydemo
\startmycorollary Siguin $s \leq k \in \naturalnumbers$ i $G$ un grup. Si $G \in {\cal S} (\lambda_{s, k}, f(n) = n-(k-s))$, aleshores existeix $k > 0$ tal que $\delta_G \preceq e^{kn^3}$. En particular, $G$ té el problema de la paraula resoluble.
\stopmycorollary
\startmydemo De la Proposició~\in[thmi:proposicio-reduccio-lambdes] i del Teorema~\in[thmi:funcio-Dehn-lambda-0-1], s'estableix directament aquest fet.
\stopmydemo
\subsubsection{Els grups de ${\cal S} (\lambda_{0, k}, f(n) = n-1)$ amb seccions geodèsiques}
En aquest apartat, trobarem una fita superior per a les funcions de Dehn dels grups que admeten una secció geodèsica $\sigma$ tal que, per a qualque $k \geq 0$, $\lambda_{\sigma, 0, k} (n) < n-k$. per a $n$ suficientment gran. Quan $k > 1$, aquesta fita superior és estrictament més petita que la fita superior corresponent als grups que admeten una secció geodèsica $\kappa$ tal que $\varphi_{\kappa} (n) < n-1$ per a $n$ suficientment gran.
\startmyproposition[thmi:desigualtat-dehn-p-lambda-0-k] Siguin $G$ un grup, $X$ un conjunt finit de generadors de $G$, ${\cal P} = \langle X \mid R \rangle$ una presentació finita de $G$, $k \geq 0$ i $\sigma \colon G \to {(X \cup X^{-1})}^*$ una secció geodèsica. Si $\sigma$ és tal que $\lambda_{0, k} (n) < n-k$ per a $n$ suficientment gran, aleshores
\startformula
\delta_{\cal P} (n) \leq \frac{n^2}{2k} \delta_{\cal P} (n-2).
\stopformula
\stopmyproposition
\startmydemo
Sigui $w$ una paraula nul-homotòpica per ${\cal P}$. Sigui $m$ l'enter més gran tal que $l(w)/2 \geq m \cdot k$, el qual coincideix amb la part entera $\lfloor (l(w)/2)/k \rfloor$. Considerem $u_{i, j}$ les paraules nul-homotòpiques per ${\cal P}$ definides per:
\startitemize[1]
\item Per a tots $i \in \{0, \ldots, l(w)-1\}$ i $j \in \{1, 2, \ldots, m\}$, la paraula $u_{i,j}$ està formada per la concatenació, en aquest ordre, de les paraules següents:
\startitemize[2]
\item La paraula corresponent a un camí geodèsic des de $\sigma_{\pi(w(i))} (mj)$ a $\sigma_{\pi(w(i+1))} (mj)$.
\item La subparaula de $\sigma_{\pi(w(i+1))}$ tal que el seu corresponent camí va des de $\sigma_{\pi(w(i+1))} (mj)$ a $\sigma_{\pi(w(i+1))} (m(j-1))$.
\item La paraula corresponent a un camí geodèsic des de $\sigma_{\pi(w(i+1))} (m(j-1))$ a $\sigma_{\pi(w(i))} (m(j-1))$.
\item La subparaula de $\sigma_{\pi(w(i))}$ tal que el seu corresponent camí va des de $\sigma_{\pi(w(i))} (m(j-1))$ fins a $\sigma_{\pi(w(i))} (mj)$.
\stopitemize
\item Per a tots $i \in \{0, \ldots, l(w)-1\}$ i $j = m+1$, $u_{i,j}$ és la concatenació, en aquest ordre, de:
\startitemize[2]
\item La lletra $(i+1)$-èssima de $w$.
\item La subparaula de $\sigma_{\pi(w(i+1))}$ tal que el seu corresponent camí va de $\sigma_{\pi(w(i+1))} (l(\sigma_{\pi(w(i+1))}))$ fins a $\sigma_{\pi(w(i+1))} (mk)$.
\item La paraula corresponent a un camí geodèsic entre $\sigma_{\pi(w(i+1))} (mk)$ i $\sigma_{\pi(w(i))} (mk)$.
\item La subparaula de $\sigma_{\pi(w(i))}$ que va des de $\sigma_{\pi(w(i))} (mk)$ fins a $\sigma_{\pi(w(i))} (l(\sigma_{\pi(w(i))}))$.
\stopitemize
\stopitemize
Per construcció, tenim que $u_{i, j}$ són paraules congruents i {\em formen} $w$, és a dir, existeixen paraules $w_i$, $i \in \{0, \ldots, l(w)-1\}$, tals que $w = w_1 \sharp ( w_2 \sharp (\ldots (w_{l(w)-1})\ldots ))$ i cada $w_i = u_{i, 0} \sharp( \ldots \sharp (u_{i, m+1})\ldots )$. Per tant,
\startformula
\text{area}_{\cal P} (w) \leq \sum_{i=0}^{l(w)-1} \sum_{j=1}^{m+1} \text{area}_{\cal P} (u_{i, j}).
\stopformula
A més, per definició de $\lambda_{0,k}$, la longitud de cada $u_{i, j}$ és menor o igual que $2k + 2 \lambda_{0, k} (l(w)/2)$.
Com que $\lambda_{0,k} (n) < n-k$ per a $n$ suficientment gran, llavors la funció de Dehn satisfà que
\startformula
\startsplit
\NC \delta_{\cal P} (n) \NC \leq n \cdot \frac{n/2}{k} \delta_{\cal P} (2k + 2 \lambda_{0, k} (n/2))\NR
\NC \NC \leq \frac{n^2}{2k} \delta_{\cal P} (n-2),
\stopsplit
\stopformula
per a $n$ suficientment gran.
\stopmydemo
Per tècniques similars a les del Lema~\in[thmi:equacio-funcional] es pot veure la proposició següent:
\startmyproposition Sigui $F \colon \naturalnumbers \to \naturalnumbers$ una funció que satisfà la recursió
\startformula
F(n) = 2 \ln n - \ln 2k + F(n-2)
\stopformula
per a tot $n \geq 2$. Aleshores $F$ és de la forma
\placeformula[-]
\startformula
F(n) = \startdisplaycases
\NC F(0) + 2 \ln n!! - \frac{n}{2} \ln 2k \MC \text{si } n \text{ parell} \NR
\NC F(1) + 2 \ln n!! - \frac{n+1}{2} \ln 2k \MC \text{si } n \text{ senar} \NR
\stopdisplaycases
\stopformula
\stopmyproposition
\startmytheorem Siguin $k \geq 0$ i $G$ un grup tal que admet una secció $\sigma$ tal que $\lambda_{0, k} (n) < n-k$ per a $n$ suficientment gran. Aleshores
\startformula
\delta_G (n) \preceq \frac{(n!!)^2}{{(2k)}^{n/2}}.
\stopformula
\stopmytheorem
\startmydemo Pel Teorema~\in[thmi:lambda-0-1-finitament-presentat], $G$ és finitament presentat. Sigui ${\cal P}$ una presentació finita de $G$ la forma ${\cal P} = \langle X \mid R\rangle$, on $X$ és el conjunt finit de generadors de $G$ respecte del qual està definida $\sigma$ (Si $G$ té una presentació finita ${\cal Q} = \langle Y \mid S\rangle$, amb $Y \neq X$, sempre en podem trobar una isomorfa a ${\cal Q}$ amb $X$ com a conjunt de generadors).
Sigui $n_0$ tal que $\lambda_{0, k} (n) < n-k$ per a tot $n \geq n_0$. Per la Proposició~\in[thmi:desigualtat-dehn-p-lambda-0-k], $\delta_{\cal P} (n) \leq (n^2/2k) \cdot \delta_{\cal P} (n-2)$. Si considerem $f \colon \naturalnumbers \to \naturalnumbers\setminus\{0\}$ tal que $f(n) = (n^2/2k) \cdot f(n-2)$ i $f(n_0) \geq \delta_{\cal P} (n_0)$, tenim que $\delta_{\cal P} (n) \leq f(n)$, per a tot $n \geq n_0$. Sigui $F(n) = \ln f(n)$. Tenim que $F$ compleix la recursió
\startformula
F(n) = 2\ln n - ln 2k + F(n-2).
\stopformula
Pel lema anterior, existeix una constant $C > 1$ tal que $F(n) \leq C + 2 \ln n!! - (n/2) \ln 2k$. A més, podem prendre $C$ suficientment gran tal que, per a tot $n \in \naturalnumbers$,
\startformula
\delta_{\cal P} (n) \leq f(n) \leq e^{F(n)} \leq e^{C} \cdot \frac{(n!!)^2}{{(2k)}^{n/2}}.
\stopformula
Per tant
\startformula
\delta_G (n) \preceq e^{C} \cdot \frac{(n!!)^2}{{(2k)}^{n/2}},
\stopformula
i, pel Lema~\in[thmi:lema-preceq-necessari],
\startformula
\delta_G (n) \preceq \frac{(n!!)^2}{{(2k)}^{n/2}}.
\stopformula
\stopmydemo
\startmyproposition Per a tot $k \geq 1$, sigui $F_k (n) = \frac{(n!!)^2}{{(2k)}^{n/2}}$. Si $k > 1$, aleshores $F_k \preceq F_1$ però $F_1 \not \preceq F_k $.
\stopmyproposition
\startmydemo De forma evident, si $k > 1$, aleshores $F_k (n) < F_1 (n)$ per a tot $n \in \naturalnumbers$. Per tant, $F_k \preceq F_1$.
D'altra banda, per a tot $k > 1$, el quocient $F_1(n)/F_k(n) = k^{n/2}$. Per tant, pel Lema~\in[thmi:lema-funcions-no-preceq], per demostrar que $F_1 \not \preceq F_k$, basta veure que $\lim_{n \to \infty} (F_1 (n))^2 / k^{Cn/2} = \infty$, per a tota constant $C > 2$ o, el que és el mateix, $\lim_{n \to \infty} (F_1 (n))^2 / k^{Cn} = \infty$, per a tota constant $C > 0$.
Si $n$ és parell, aleshores $n!! = 2^{n/2} \cdot (n/2)!$, i si $n$ és senar, aleshores $n!! \geq (n-1)!!$. Per tant, aplicant la fórmula de Stirling, tenim que, per a tot $n \in \naturalnumbers$,
\startformula
(n!!)^2 \geq 2^{n-1} \cdot \pi \cdot (n-1) \cdot \left(\frac{n-1}{2e}\right)^{n-1}.
\stopformula
Per tant, per a tot $n \geq 2$,
\startformula
\startsplit
\NC \frac{(F_1(n))^2}{k^{Cn}} \NC \geq \frac{((n-1)!!)^4 / 2^n}{k^{Cn}}\NR
\NC \NC \sim \frac{2^{2n-2} \cdot \pi^2 \cdot (n-1)^2 \cdot ((n-1)/2e)^{2n-2}}{k^{Cn} \cdot 2^n}\NR
\NC \NC = \frac{\pi^2 (n-1)^2 \cdot ((n-1)/e)^{2 (n-1)}}{k^{Cn} \cdot 2^n}\NR
\NC \NC \geq \frac{\pi^2 (n-1)^2 \cdot ((n-1)/e)^{2 (n-1)}}{k^{2C(n-1)} \cdot 2^{2(n-1)}}\NR
\NC \NC = \pi^2 (n-1)^2 \cdot \left(\frac{n-1}{2ek^C}\right)^{2 (n-1)}.
\stopsplit
\stopformula
Aquesta expressió tendeix a infinit quan $n$ tendeix a infinit. Per tant, també ho fa el quocient $(F_1(n))^2/k^{Cn}$.
\stopmydemo
\subsection{Diferències entre $\varphi$ i $\lambda_{0, k}$}
En aquesta secció reflexionarem sobre si la classe de grups que, per a qualque $k \geq 1$, admeten una secció $\sigma$ tal que $\lambda_{\sigma, 0, k} (n) < n-1$, per a $n$ suficientment gran, és més general que la classe de grups que admeten $\sigma$ tal que $\varphi_{\sigma} (n) < n-1$, per a $n$ prou gran. També farem aquesta reflexió quan $\sigma$ sigui geodèsica.
Si s'observen els teoremes~\in[thmi:lambda-0-1-finitament-presentat] i \in[thmi:funcio-Dehn-lambda-0-1] pot parèixer que aquests no milloren els resultats obtinguts per Bridson per al cas en què els grups admeten una secció tal que $\varphi (n) < n-1$ per a $n$ suficientment gran (Teorema~\in[thme:bridson-finitament-presentat] i Proposició~\in[thmi:proposicio-resum-ordre-dehn-bridson]). Aquesta impressió és deguda a què s'obtenen les mateixes conclusions per a $\lambda_{0,1}$ que per a $\varphi$: $G$ és finitament presentat i existeix $k > 0$ tal que $\delta_{G} (n) \preceq e^{kn^3}$, per a tot grup $G$ tal que admet una secció $\sigma$ tal que, per a $n$ suficientment gran, $\lambda_{\sigma, 0,1} (n) < n-1$ o $\varphi_{\sigma} (n) < n-1$.
Creiem que aquesta impressió és falsa. Concretament, pensam que el rang d'aplicació dels Teoremes \in[thmi:lambda-0-1-finitament-presentat] i \in[thmi:funcio-Dehn-lambda-0-1] és major, estrictament, que el corresponent al Teorema~\in[thme:bridson-finitament-presentat] i la Proposició~\in[thmi:proposicio-resum-ordre-dehn-bridson] o, en altres paraules, que existeix un grup $G_0$ el qual admet una secció $\sigma$ tal que $\lambda_{\sigma, 0, 1} (n) < n-1$, per a $n$ suficientment gran, però, per a tota secció $\kappa$, $\varphi_{\kappa} (n) \not < n-1$ per a $n$ suficientment gran.
No hem pogut establir aquest fet perquè no hem pogut trobar un exemple explícit d'aquest grup, encara que existeixen diverses raons plausibles per a aquesta existència:
\startitemize[1]
\item En general, $\lambda_{0,1} (n)$ és menor, estrictament, que $\varphi(n)$, ja que és una mitjana de valors (la mitjana de valors és menor que el màxim d'aquests valors).
\item Si $G$ és un grup, $X$ és un conjunt de generadors finit de $G$ i $\sigma \colon G \to {(X \cup X^{-1})}^*$ és una secció tal que $\varphi_{\sigma}(n) \not < n-1$, per a $n$ suficientment gran, aleshores existeix una successió $(n_i)_{i \in \naturalnumbers}$ tal que $\varphi_{\sigma} (n_i) \in \{n_i-1, n_i\}$. Per tant, existeixen $g_i, h_i \in G$ tals que $d_{G, X} (g_i, h_i) = 1$, $d_{G, X}(1, g_i), d_{G, X}(1, h_i) \leq n_i$ i $(t_i)_{i \in \naturalnumbers}$ tals que
\startformula
d_{G, X} (\sigma_{g_i} (t_i), \sigma_{h_i} (t_i)) \in \{n_i -1, n_i\}
\stopformula
(és a $t_i$ que s'agafa el màxim de les distàncies entre $\sigma_{g_i}$ i $\sigma_{h_i}$). Pareix probable que existeixin (molts) grups tals que els valors precedents i consecutius de $t_i$ siguin prou petits, és a dir, que
\startformula
d_{G, X} (\sigma_{g_i} (t_i \pm 1), \sigma_{h_i} (t_i \pm 1)) < n_i.
\stopformula
Si \startformula
d_{G, X} (\sigma_{g_i} (t_i \pm 1), \sigma_{h_i} (t_i \pm 1)) < n_i -2,
\stopformula
aleshores $\lambda_{0,1} (n) < n -1$. Per tant, l'existència de $G_0$ pot venir com a conseqüència de l'existència d'un grup (infinit) tal que les seves distàncies entre elements {\em oscil·lin}.
\stopitemize
\noindentation De fet, ni tan sols hem pogut construir un grup $G_1$ amb la funció de Dehn $\preceq e^{kn^3}$, per qualque $k > 0$, i tal que no admetés una secció amb amplada $\varphi(n) < n-1$ per a $n$ suficientment gran.
Al marge de l'existència de $G_1$ (l'existència de $G_0$ implica l'existència de $G_1$), una de les dificultats amb les quals hem topat de manera més freqüent quan hem intentat demostrar l'existència de $G_0$ és la coincidència de valor entre $\lambda_{0,1} (n)$ i $\varphi(n)$. Per exemple, si en $\integers \oplus \integers$, prenem la secció $\sigma((i, j)) =a^i b^j$, amb $a = (1, 0)$ i $b= (0, 1)$ (exemple \in[exemple-Z+Z-grups-seccionables], pàgina \at[exemple-Z+Z-grups-seccionables]), aleshores tenim que $\varphi_{\sigma} (n) = 2 = \lambda_{0,1} (n)$. Per a l'existència de $G_0$, ha d'existir un grup $G_2$ (que pot coincidir amb $G_0$) tal que $\lambda_{0,1} (n) < \varphi(n)$ assimptòticament o, equivalentment, $\liminf_{n \to \infty} {\varphi(n)}/{\lambda_{0,1}} (n) > 1$. Tampoc hem pogut establir l'existència de $G_2$. Notem que $1 \leq \varphi/\lambda_{0,1} \leq 2$, ja que $\varphi \leq 2 \lambda_{0, 1}$. Tot fa pensar que necessitam un invariant geomètric associat al quocient $\varphi/{\lambda_{0,1}}$ (o a la seva diferència) per demostrar aquest fet.
Per tot això, enunciem la conjectura següent:
\startmyconjecture Existeixen grups finitament presentats $G_0$, $G_1$ i $G_2$ tals que
\startitemize[1]
\item $G_0$ admet una secció $\sigma$ tal que $\lambda_{\sigma, 0, 1} (n) < n-1$, per a $n$ suficientment gran, però, per a tota secció $\kappa$, $\varphi_{\kappa} (n) \not < n-1$ per a $n$ suficientment gran.
\item $G_1$ no admet cap secció $\sigma$ amb amplada $\varphi_{\sigma} (n) < n-1$ per a $n$ suficientment gran i $\delta_{G} (n) \preceq e^{kn^3}$ per qualque $k > 0$.
\item Per a tota secció $\sigma$ de $G_2$ (respecte d'algun conjunt finit de generadors de $G_2$),
\startformula
\liminf_{n \to \infty} {\varphi_{\sigma}(n)}/{\lambda_{\sigma, 0,1}} (n) > 1.
\stopformula
\stopitemize
\stopmyconjecture
L'existència de $G_0$ implicaria, per definició, que ${\cal S} (\varphi, f(n) = n-1) \subsetneq {\cal S} (\lambda_{0,1}, f(n) = n-1)$. De fet, creiem que ${\cal S} (\lambda_{0, k}, f(n) = n-k)$ és una classe incomparable amb ${\cal S}(\lambda_{0, k'}, f(n) = n-k')$ quan $k \neq k'$.
Per últim, en el cas geodèsic, tenim que la classe de grups tals que admeten una secció geodèsica tal que $\varphi(n) < n-1$ per a $n$ suficientment gran tenen funció de Dehn $\preceq (n!!)^2/2^{n/2}$ mentre que la classe de grups que admeten una secció geodèsica tal que, per qualque $k > 1$, $\lambda_{0, k}(n) < n-k$ tenen funció de Dehn $\preceq (n!!)^2/(2k)^{n/2}$. Hem vist que $(n!!)^2/(2k)^{n/2}$ és estrictament menor, mòdul $\simeq$, que $(n!!)^2/2^{n/2}$. El Teorema de Sapir-Birget-Rips (Teorema~\in[thme:teorema-sapir-birget-rips]) i l'{\em abundància} dels grups finitament presentats suggereixen que això és una raó més per conjecturar que aquestes classes de grups són diferents:
\startmyconjecture Existeix un grup finitament presentat $G_3$ tal que admet una secció geodèsica tal que, per qualque $k > 1$, $\lambda_{0, k} (n) < n-k$, per a $n$ suficientment gran, però no admet cap secció geodèsica tal que $\varphi (n) < n-1$ per a $n$ suficientment gran.
\stopmyconjecture
\section{$\varphi_k$}
Una altra possible generalització de $\varphi$ és, en comptes de realitzar la mitjana de les distàncies de dos valors, com féiem amb $\lambda_{s, k}$, fer la mitjana de $k$ valors consecutius.
\startmydefinition Siguin $G$ un grup, $X$ un conjunt finit de generadors de $G$, $\sigma \colon G \to {(X \cup X^{-1})}^*$ una secció, $k \geq 0$. La {\em amplada mitjana $k$-èssima de \sigma}\index[amplada+mitjana k-èssima d'una secció]{amplada+mitjana $k$-èssima d'una secció}, o {\em amplada mitjana de $k+1$ valors de $\sigma$}\index[amplada+mitjana respecte de k+1 valors]{amplada+mitjan respecte de $k+1$ valors}, és la funció $\varphi_{\sigma, k} \colon \naturalnumbers \to \naturalnumbers$\mysymbol{$\varphi_{\sigma}$} definida per $\varphi_{\sigma, k} (0) = 0$ i, per a tot $n > 0$,
\startformula
\varphi_{\sigma, k} (n)= \max \{ \sum_{i=0}^k D_{\sigma, g, h} (t+i) \mid t \in \naturalnumbers, (g, h) \in K_{G, X} (n) \}.
\stopformula
Quan $\sigma$ sigui clara pel context i sigui una secció genèrica, escriurem simplement $\varphi_k (n)$\mysymbol{$\varphi_k$}.
\stopmydefinition
Estendrem $\varphi_k$ als nombres reals mitjançant $\varphi_k (x) = \varphi_k (\lfloor x \rfloor)$ si $x > 0$ i $\varphi_k (x) = \varphi_k (0)$ si $x < 0$.
\startmylema Per a tot $k \geq 0$, tenim que $\varphi_k (n) \leq \varphi (n)$.
\stopmylema
\startmydemo Clarament, per a tot $n \in \naturalnumbers$,
\startformula
\startsplit
\NC \varphi_k (n) \NC = \max \{ \frac{1}{k+1} \sum_{i=0}^k D_{\sigma, g, h} (t+i) \mid t \in \naturalnumbers, (g, h) \in K_{G, X} (n)\}\NR
\NC \NC \leq \frac{1}{k+1} \sum_{i=0}^k \max \{D_{\sigma, g, h} (t+i) \mid t \in \naturalnumbers, (g, h) \in K_{G, X} (n)\}\NR
\NC \NC \leq \frac{k+1}{k+1} \varphi (n)\NR
\NC \NC = \varphi(n).
\stopsplit
\stopformula
\stopmydemo
\startmycorollary Tot grup finitament generat admet una secció $\sigma$, respecte d'algun conjunt finit de generadors, tal que $L_{\sigma} (n) = n$ i $\varphi_k (n) \leq n$, per a tot $n \in \naturalnumbers$.
\stopmycorollary
\startmydemo És conseqüència directa del lema anterior i del Teorema~\in[thme:bridson-finitament-presentat].
\stopmydemo
\bigskip
Conjectura: $\varphi_k (n) < n-1$ aleshores $G$ té el problema de la paraula resoluble. $\varphi_k$ el que fa és regularitzar les distàncies entre els punts. Això concorda amb veure $G$, com a espai, mètric molt alluny. --> connexió amb "asymptotic connes" (\cite[riley-tesi] i altres per exemple meier).
\section{Més d'una secció}
\section{$p_w$}
\section{altres}
Generalitzar generalitzar $\lambda_{s, k}$ i demés al cas asincrònic. Conjecturem que existeixen grups que no són sincrònics d'aquesta classe.
\completepublications[criterium=all] %all per tots
\title{Índex alfabètic}
\placeindex
\stoptext
\startmydefinition Siguin $G$ un grup, $X$ un conjunt finit de generadors de $G$, $\sigma \colon G \to {(X \cup X^{-1})}^*$ una secció, $k \geq 0$. L'{\em amplada mitjana $k$-èssima} o {\em amplada mitjana respecte de $k+1$ valors}\index[amplada+mitjana k-èssima]{amplada+mitjana $k$-èssima}
\index[amplada+mitjana respecte de k+1 valors]{amplada+mitjana respecte de $k+1$ valors}
és la funció $\varphi_{\sigma, k} \colon \naturalnumbers \to \naturalnumbers$ definida per $\varphi_{\sigma, k} (0) = 0$\mysymbol{$\varphi_{\sigma, k}$} i, per a tot $n > 0$,
\startformula
\varphi_{\sigma, k} (n) = \max \{ \frac{1}{k+1} \sum_{i=0}^k D_{\sigma, g, h} (t+i) \mid t \in \naturalnumbers, (g, h) \in K_{G, X} (n)\}.
\stopformula
Quan $\sigma$ sigui clara pel context o quan $\sigma$ sigui una secció genèrica, escriurem simplement $\varphi_k$. De forma trivial, tenim que $\varphi_0 = \varphi$.
\stopmydefinition
